Question

9．已知函數(shù)g（x）=ax²-2ax+1+b（a＞0）在區(qū)間[2，3]上的最大值為4，最小值為1，記f（x）=g（|x|）
（1）求實數(shù)a、b的值；
（2）若不等式$f（{log_2}k）＞f（\frac{3}{2}）$成立，求實數(shù)k的取值范圍；
（3）對于任意滿足p=x₀＜x₁＜x₂＜…＜x_n-1＜x_n=q（n∈N，n≥3）的自變量x₀，x₁，x₂，…，x_n-1，x_n，如果存在一個常數(shù)M＞0，使得定義在區(qū)間[p，q]上的一個函數(shù)m（x），有|m（x₁）-m（x₀）|+|m（x₂）-m（x₁）|+…+|m（x_n）-m（x_n-1）|≤M恒成立，則稱m（x）為區(qū)間[p，q]上的有界變差函數(shù)，試判斷f（x）是否區(qū)間[0，3]上的有界變差函數(shù)，若是，求出M的最小值；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由g（x）的對稱軸x=1得g（x）在區(qū)間[2，3]上是增函數(shù)，得方程組求出a，b即可；
（2）由（1）求出f（x）的表達式，解不等式求出即可；
（3）由f（x）的表達式得f（x）為[0，3]上的單調(diào)遞增函數(shù)，根據(jù)有界變差函數(shù)的概念求出即可．

解答 解：（1）∵g（x）=a（x-1）²+1+b-a，
又a＞0，∴g（x）在區(qū)間[2，3]上是增函數(shù)，
故g（2）=1，g（3）=4，
解得：a=1，b=0．  
（2）由（1）得：g（x）=x²-2x+1，
故f（x）=x²-2|x|+1是偶函數(shù)，
∴不等式$f（{log_2}k）＞f（\frac{3}{2}）$可化為|log₂k|＞$\frac{3}{2}$，
解得：k∈（0，$\frac{\sqrt{2}}{4}$）∪（2$\sqrt{2}$，+∞）．  
（3）∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x+1，x≥1}\\{{x}^{2}+2x+1，x＜1}\end{array}\right.$，
∴f（x）為[0，1]上單調(diào)遞減，[1，3]上的單調(diào)遞增函數(shù)，
則對于任意滿足1=x₀＜x₁＜x₂＜…＜x_n-1＜x_n=3（n∈N^*，n≥3）的自變量x₀，x₁，x₂，…，x_n，
有f（1）=f（x₀）＜f（x₁）＜f（x₂）＜…＜f（x_n-1）＜f（x_n）=f（3），
∴|f（x₁）-f（x₀）|+|f（x₂）-f（x₁）|+…+|f（x_n）-f（x_n-1）|
=f（x₁）-f（x₀）+f（x₂）-f（x₁）+…+f（x_n）-f（x_n-1）
=f（x_n）-f（x_n-1）
=f（3）-f（1）
=4，
∴存在常數(shù)M≥4，使得|m（x₁）-m（x₀）|+|m（x₂）-m（x₁）|+…+|m（x_n）-m（x_n-1）|≤M．  
函數(shù)f（x）為區(qū)間[0，3]上的有界變差函數(shù)．即M的最小值為4．

點評 本題考查函數(shù)的性質(zhì)，導數(shù)的應用，函數(shù)的單調(diào)性，新概念問題，是一道綜合題．