Question

17．已知函數(shù)$f（x）={（\frac{1}{2}）^{mx}}$，m為常數(shù)，且函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)（1，2）
（1）求m的值；
（2）若g（x）=4^x-6，且g（x）=f（x），求滿足條件的x的值．

Answer 1

分析 （1）直接將圖象所過(guò)的點(diǎn)代入函數(shù)式解出m的值，進(jìn)而求出函數(shù)解析式；
（2）將2^x看成一個(gè)整體，方程就變成一個(gè)一元二次方程，再求其根即可．

解答 解：（1）∵函數(shù)$f（x）={（\frac{1}{2}）^{mx}}$的圖象過(guò)點(diǎn)（1，2），
∴${（{\frac{1}{2}}）^m}=2$，解得，m=-1，
∴f（x）=${（{\frac{1}{2}}）^{-x}}={2^x}$；
（2）由g（x）=f（x）得，4^x-6=2^x，
整理得，4^x-2^x-6=0，即（2^x）²-2^x-6=0，
解得，2^x=3，或2^x=-2（舍去），
所以，$x={log_2}^3$，
即滿足方程g（x）=f（x）的x的值為：log₂3．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，涉及一元二次方程的解法和指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的相互轉(zhuǎn)化，屬于中檔題．