Question

某大學(xué)對參加了該校志愿者實(shí)施“社會(huì)教育實(shí)踐”學(xué)分考核，決定考核有合格和優(yōu)秀兩個(gè)等次，若某志愿者考核為合格，授予0.5個(gè)學(xué)分；考核為優(yōu)秀，授予1個(gè)學(xué)分．假設(shè)該校志愿者甲、乙、丙考核為優(yōu)秀的概率分別為

4

5

、

2

3

、

2

3

，他們考核所得的等次相互獨(dú)立．
（I）求在這次考核中，志愿者甲、乙、丙三人中至少有一名考核為優(yōu)秀的概率；
（II）求在這次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得學(xué)分之和為整數(shù)的概率．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)題意，分別記“甲考核為優(yōu)秀”，“乙考核為優(yōu)秀”，“丙考核為優(yōu)秀”，“志愿者甲、乙、兩三人中至少有一名考核為優(yōu)秀”為A，B，C，E，根據(jù)相互獨(dú)立事件與對立事件的定義，可得事件A，B，C相互獨(dú)立，

.

A

•

.

B

•

.

C

與事件E是對立事件，根據(jù)相互獨(dú)立事件乘法公式及對立事件概率減法公式，可得在這次考核中，志愿者甲、乙、兩三人中至少有一名考核為優(yōu)秀的概率；
（Ⅱ）記“次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得學(xué)分之和為整數(shù)”為事件F，分析可得F等價(jià)于三名志愿者的優(yōu)秀人數(shù)為1或3個(gè)；即P（F）=P（A•

.

B

•

.

C

）+P（

.

A

•B•

.

C

）+P（

.

A

•

.

B

•C）+P（A•B•C），代入數(shù)據(jù)計(jì)算可得答案．

解答：解：（I）記“甲考核為優(yōu)秀”為事件A，“乙考核為優(yōu)秀”為事件B，
“丙考核為優(yōu)秀”為事件C，“志愿者甲、乙、兩三人中至少有一名考核為優(yōu)秀”為事件E，
則事件A，B，C相互獨(dú)立，

.

A

•

.

B

•

.

C

與事件E是對立事件
則P（E）=1-P（

.

A

•

.

B

•

.

C

）=1-P（

.

A

）•P（

.

B

）•P（

.

C

）=1-

1

5

×

1

3

×

1

3

=

44

45

（Ⅱ）記“次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得學(xué)分之和為整數(shù)”為事件F，即三名志愿者的優(yōu)秀人數(shù)為1或3個(gè)；
P（F）=P（A•

.

B

•

.

C

）+P（

.

A

•B•

.

C

）+P（

.

A

•

.

B

•C）+P（A•B•C）=

24

45

=

8

15

．

點(diǎn)評：本題考查相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，關(guān)鍵在于分析事件之間的相互關(guān)系．