Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax²（其中a＞0）上任意一點(diǎn)與點(diǎn)P（0，

1

4a

）的距離等于它到直線y=-1的距離．
（I）求拋物線的方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，2），N為拋物線上任意一點(diǎn)，是否存在垂直于y軸的直線l，使直線l被以MN為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)恒為常數(shù)？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（I）由拋物線的定義知P（0，

1

4a

）是其焦點(diǎn)，且

1

4a

=1，由此能求出拋物線方程．
（Ⅱ）設(shè)N（2x，x²），則MN的中點(diǎn)H的坐標(biāo)為H（x，1+

x2

2

），設(shè)直線l的方程為y=c，則點(diǎn)H到直線l的距離為d=|

x2+2

2

-c|，由此能推導(dǎo)出存在垂直于y軸的直線l，使直線l被以MN為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)恒為常數(shù)，直線l的方程為y=1．

解答： 解：（本題滿分14分）
（I）由拋物線的定義知P（0，

1

4a

）是其焦點(diǎn)，且

1

4a

=1，…（3分）
∴a=

1

4

，拋物線方程為y=

1

4

x2．…（4分）
（Ⅱ）設(shè)N（2x，x²），則MN的中點(diǎn)H的坐標(biāo)為H（x，1+

x2

2

），…（6分）
設(shè)直線l的方程為y=c，
則點(diǎn)H到直線l的距離為d=|

x2+2

2

-c|，…（7分）
|MN|²=4x²+（x²-2）²=x⁴+4，…（8分）
設(shè)所求弦長(zhǎng)為L(zhǎng)，則L²=|MN|²-4d²=x⁴+4-4（

x2+2

2

-c）²=4x²（c-1）+8c-4c²，…（11分）
若弦長(zhǎng)L恒為常數(shù)，即L的值與x的值無(wú)關(guān)，
所以c=1，L=2…（13分）
所以存在垂直于y軸的直線l，使直線l被以MN為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)恒為常數(shù)，
此直線l的方程為y=1．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線方程的求法，考查滿足條件直線方程是否存在的判斷與求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．