Question

10．已知x，y∈（0，+∞），x²+y²=x+y．
（1）求$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$的最小值；
（2）是否存在x，y，滿足（x+1）（y+1）=5？并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)基本不等式的性質求出$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$的最小值即可；（2）根據(jù)基本不等式的性質得到（x+1）（y+1）的最大值是4，從而判斷出結論即可．

解答 解：（1）$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{x+y}{xy}=\frac{{{x^2}+{y^2}}}{xy}≥\frac{2xy}{xy}=2$，
當且僅當x=y=1時，等號成立．
所以$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$的最小值為2．
（2）不存在．
因為x²+y²≥2xy，
所以（x+y）²≤2（x²+y²）=2（x+y），
∴（x+y）²-2（x+y）≤0，
又x，y∈（0，+∞），所以x+y≤2．
從而有（x+1）（y+1）≤${[\frac{（x+1）+（y+1）}{2}]}^{2}$≤${[\frac{2+2}{2}]}^{2}$=4，
因此不存在x，y，滿足（x+1）（y+1）=5．

點評 本題考查了基本不等式的性質，注意應用性質的條件，本題是一道中檔題．