設(shè)數(shù)列{an}滿足：a1=1，a2=，an+2=an+1-an（n∈N*）．
（1）令bn=an+1-an（n∈N*），求數(shù)列{bn}的通項公式；
（2）求數(shù)列{nan}的前n項和Sn．
【答案】分析：（1）直接把an+2=an+1-an代入bn=an+1-an整理可得數(shù)列{bn}是公比為的等比數(shù)列，求出首項即可求數(shù)列{bn}的通項公式；
（2）先借助于（1）的結(jié)論以及疊加法的應(yīng)用求出數(shù)列{an}的通項公式；再利用錯位相減法以及分組求和法求出數(shù)列{nan}的前n項和Sn．
解答：解：（1）因為bn+1=an+2-an+1=an+1-an-an+1=（an+1-an）=．
故數(shù)列{bn}是公比為的等比數(shù)列，且b1=a2-a1=．
故bn=   （n=1，2，3…）．
（2）由bn=an+1-an=．
得an+1-a1=（an+1-an）+（an-an-1）+…+（a2-a1）
=+…+=2[1-]．
又因為a1=1．可得an+1=3-，即an=3-  （n=1，2，3…）
記數(shù)列{}的前n項和為Tn．則Tn=1+2×+…+n，
Tn=+…+n．
兩式相減得：Tn=1+++…+-n•=3[1-]-n•．
故Tn=9[1-]-3n=9-．
所以sn=a1+2a2+…+nan
=3（1+2+3+…+n）-2Tn
=n（n+1）+-18．
點評：本題主要考查數(shù)列遞推式的應(yīng)用以及數(shù)列求和的常用方法．本題第二問涉及到錯位相減法求和，錯位相減法適用于一等差數(shù)列和一等比數(shù)列相乘組成的新數(shù)列．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=0，an+1=can3+1-c，n∈N*，其中c為實數(shù)
（1）證明：an∈[0，1]對任意n∈N*成立的充分必要條件是c∈[0，1]；
（2）設(shè)0＜c＜
1
3
，證明：an≥1-（3c）n-1，n∈N*；
（3）設(shè)0＜c＜
1
3
，證明：
a
2
1
+
a
2
2
+…
a
2
n
＞n+1-
2
1-3c
，n∈N*．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f(x)=
1
4x+m
(m＞0)，當(dāng)x1、x2∈R且x1+x2=1時，總有f(x1)+f(x2)=
1
2
．
（1）求m的值；
（2）設(shè)數(shù)列an滿足an=f(
0
n
)+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n
n
)，求an的通項公式．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=a，an+1=can+1-c，n∈N*其中a，c為實數(shù)，且c≠0
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式
（Ⅱ）設(shè)a=
1
2
，c=
1
2
，bn=n（1-an），n∈N*，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn；
（Ⅲ）若0＜an＜1對任意n∈N*成立，求實數(shù)c的范圍．（理科做，文科不做）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}滿足：a1=
5
6
，且an=
1
3
an-1+
1
3
（n∈N*，n≥2）
（1）求證：數(shù)列{an-
1
2
}為等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項an；
（2）求{an}的前n項和Sn．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)n∈N*，不等式組
x＞0
y＞0
y≤-nx+2n
所表示的平面區(qū)域為Dn，把Dn內(nèi)的整點（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點）按其到原點的距離從近到遠(yuǎn)排列成點列：（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）
（1）求（xn，yn）；
（2）設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=x1，an=
y
2
n
(
1
y
2
1
+
1
y
2
2
+…+
1
y
2
n-1
)，(n≥2)，求證：n≥2時，
an+1
(n+1
)
2
 
-
an
n
2
 
=
1
n
2
 
；
（3）在（2）的條件下，比較(1+
1
a1
)(1+
1
a2
)…(1+
1
an
)與4的大�。�

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案