Question

2．已知銳角三角形ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c若c-a=2acosB，則$\frac{si{n}^{2}A}{sin（B-A）}$的取值范圍是（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．

Answer 1

分析 由正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡可得sin（B-A）=sinA，由A，B為銳角，可得B=2A，解得A的范圍，可得求sinA∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），化簡所求即可得解．

解答 解：∵c-a=2acosB，
∴由正弦定理可得：sinC=2sinAcosB+sinA，
∴sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB+sinA，可得：cosAsinB-sinAcosB=sinA，即：sin（B-A）=sinA，
∵A，B為銳角，可得：B-A=A，可得：B=2A∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴A∈（0，$\frac{π}{4}$），
又∵C=π-3A∈（0，$\frac{π}{2}$），可得：A∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$），
∴綜上，可得A∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$），可得：sinA∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
∴$\frac{si{n}^{2}A}{sin（B-A）}$=sinA∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．
故答案為：（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．

點評 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦定理，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．