Question

7．已知f（x）=x³-3x，并設(shè)：
p：?c∈R，f（f（x））=c至少有3個實根；
q：當(dāng)c∈（-2，2）時，方程f（f（x））=c有9個實根；
r：當(dāng)c=2時，方程f（f（x））=c有5個實根．
則下列命題為真命題的是（　�。�

• A． ￢p∨￢r
• B． ￢q∧r
• C． 僅有r
• D． p∧q

Answer 1

分析 求出f（x）的導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間、極值，畫出圖象，令t=f（x），f（t）=c，討論c的范圍，結(jié)合函數(shù)f（x）的圖象判斷p假，q，r為真，再由復(fù)合命題的真假判斷，即可得到答案．

解答 解：f（x）=x³-3x的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3x²-3，
當(dāng)x＞1或x＜-1時，f′（x）＞0，f（x）遞增；
當(dāng)-1＜x＜1時，f′（x）＜0，f（x）遞減．
可得f（-1）=2取得極大值，f（1）取得極小值-2．
作出y=f（x）的圖象（如右）：
令t=f（x），
對于p：?c∈R，f（f（x））=c至少有3個實根，
即有f（t）=c，若c＞2，則t＞2，此時f（x）=t只有一解，故p為假命題；
對于q：當(dāng)c∈（-2，2）時，方程f（f（x））=c有9個實根，
由t=f（x），f（t）=c在（-2，2）內(nèi)有三個解，在x軸上方不妨設(shè)-$\sqrt{3}$＜t₁＜-1＜t₂＜0＜1＜t₃＜2，
由圖象可得f（x）=t共有9個實根，故q為真命題；
對于r：當(dāng)c=2時，方程f（f（x））=c有5個實根，
由t=f（x），f（t）=2，可得t=-1和2，
由圖象可得f（x）=-1有3個實根，f（x）=2有2個實根，共有5個實根．故r為真命題．
則￢p∨￢r為真命題；￢q∧r，僅有r，p∧q均為假命題．
故選：A．

點評 本題考查命題的真假判斷，主要是考查函數(shù)的單調(diào)性和極值，以及換元思想和數(shù)形結(jié)合思想，考查復(fù)合命題的真假，以及判斷能力，屬于中檔題．