Question

16．設(shè)△ABC是銳角三角形，a、b、c分別是內(nèi)角A、B、C所對邊長，已知$\overrightarrow{m}$=（sinA，sinB），$\overrightarrow{n}$=（sinA，-sinB），且m•n=sin（$\frac{π}{3}$+B）•sin（$\frac{π}{3}-B$）．
（1）求角A的值；
（2）若△ABC的面積等于6$\sqrt{3}$，a=2$\sqrt{7}$，求b、c（其中b＜c）．

Answer 1

分析 （1）由已知即平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可得sin²A=$\frac{3}{4}$，結(jié)合△ABC是銳角三角形，可求sinA，進(jìn)而可求A的值．
（2）由（1）及三角形面積公式可求bc=24，由余弦定理可得：b²+c²=52，聯(lián)立解得b+c=10，結(jié)合b＜c，即可解得b，c的值．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）∵$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=sin（$\frac{π}{3}$+B）•sin（$\frac{π}{3}-B$）．
∴sin²A-sin²B=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB+$\frac{1}{2}$sinB）•（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB-$\frac{1}{2}$sinB），
即sin²A-sin²B=$\frac{3}{4}$cos²B-$\frac{1}{4}$sin²B，
∴sin²A=$\frac{3}{4}$．
又△ABC是銳角三角形，
∴sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，從而A=$\frac{π}{3}$．…（5分）
（2）由（1）可知，△ABC的面積：$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc=6$\sqrt{3}$，
∴bc=24①，…（8分）
∵由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA，
將a=2$\sqrt{7}$，bc=24，代入，可得：b²+c²=52，②…（10分）
∴由①②可得：b+c=10，
∴b，c是一元二次方程t²-10t+24=0的兩個根，
∴由b＜c，可解得：b=4，c=6．…（12分）

點評 本題主要考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角形面積公式，余弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．