Question

設(shè)f（x）=3ax²+2bx+c，且a+b+c=0，，求證：
（1）若f（0）•f（1）＞0，求證：-2＜

b

a

＜-1；
（2）在（1）的條件下，證明函數(shù)f（x）的圖象與x軸總有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)A，B，并求|AB|的取值范圍．
（3）若a＞b＞c，g（x）=2ax²+（a+b）x+b，求證：x≤-

3

時(shí)，恒有f（x）＞g（x）．

Answer 1

分析：（1）先將f（0）＞0，f（1）＞0，利用函數(shù)式中的a，b，c進(jìn)行表示，再結(jié)合等式關(guān)系利用不等式的基本性質(zhì)即可得到a和 

a

b

的范圍即可．
（2）方程3ax²+2bx+c=0的判別式△=4（b²-3ac），由條件a+b+c=0消去b，證明其大于0，再利用韋達(dá)定理求線段AB|的取值范圍
（3）先構(gòu)建函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）=ax²+（b-a）x+c-b=ax²-（2a+c）x+a+2c，再證明x≤-

3

時(shí)，大于0即可．

解答：解：（1）若a=0，則b=-c，f（0）•f（1）=c•（3a+2b+c）=-c²≤0與已知矛盾∴a≠0…（2分）
由f（0）•f（1）＞0，得c（3a+2b+c）＞0
由條件a+b+c=0消去c，得（a+b）（2a+b）＜0∵a²＞0∴(1+

b

a

)(2+

b

a

)＜0，∴-2＜

b

a

＜-1…（4分）
（2）方程3ax²+2bx+c=0的判別式△=4（b²-3ac）
由條件a+b+c=0消去b，得△=4(a2+c2-ac)=4[(a-

c

2

)2+

3

4

c2]＞0∴方程f（x）=0有實(shí)根
即函數(shù)f（x）的圖象與x軸總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A、B．設(shè)A（x₁，0），B（x₂，0）
由條件知x1+x2=-

2b

3a

x1x2=

c

3a

=-

a+b

3a

∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=

4

9

•

b2

a2

+

4

3

(1+

b

a

)=

4

9

•(

b

a

+

3

2

)2+

1

3

∵-2＜

b

a

＜-1∴

1

3

≤(x1-x2)2＜

4

9

∴

3

3

≤|x1-x2|＜

2

3

即

3

3

≤|AB|＜

2

3

…（9分）
（3）設(shè)h（x）=f（x）-g（x）=ax²+（b-a）x+c-b=ax²-（2a+c）x+a+2c∵a＞b＞c，a+b+c=0∴a＞0且a＞-a-c＞c
即-2＜

c

a

＜-

1

2

又h（x）的對稱軸為x=

2a+c

2a

=1+

c

2a

＞0
∴x≤-

3

時(shí)，h(x)≥3a+

3

(2a+c)+a+2c=(2+

3

)(2a+c)＞0
即x≤-

3

時(shí)，f（x）＞g（x）恒成立…（14分）

點(diǎn)評：本題主要考查二次函數(shù)的基本性質(zhì)與不等式的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．