Question

2．已知函數f（x）=e^x-ax，g（x）=x+a．
（Ⅰ）若f（x）在x=1處取得極值，求實數a的值；
（Ⅱ）若對于任意的x₁∈[0，1]，存在x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂），求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過將f（x）在x=1處取得極值轉化為f'（1）=0，進而計算可得結論；
（Ⅱ）由題可知問題轉化為函數值域的包含關系，進而分a≤0、a＞0兩種情況討論即可．

解答 解：（Ⅰ）由f（x）=e^x-ax可知f'（x）=e^x-a，
依題意知f'（1）=0，得e-a=0，即a=e，
驗證可知a=e滿足題意，
綜上所述，a=e．
（Ⅱ）由x₂∈[0，1]可知g（x₂）∈[a，a+1]，f'（x）=e^x-a．
（1）當a≤0時，f'（x）＞0，即f（x）在[0，1]上單調遞增，
所以f（x₁）∈[1，e-a]，
依題得$\left\{\begin{array}{l}a≤1\\ a+1≥e-a\end{array}\right.$，解得$\frac{e-1}{2}≤a≤1$，
又a≤0，所以此時a無實數解．
（2）當a＞0時，令f'（x）=0，解得x=lna．
①當lna≤0時，f（x）在[0，1]上單調遞增，
所以由（1）得$\frac{e-1}{2}≤a≤1$，
又因為0＜a≤1，
所以$\frac{e-1}{2}≤a≤1$，即$a∈[{\frac{e-1}{2}，1}]$．
②當lna≥1即a≥e時，f（x）在[0，1]上單調遞增，
所以f（x₁）∈[e-a，1]，
依題得$\left\{\begin{array}{l}a≤e-a\\ a+1≥1\end{array}\right.$，解得$0≤a≤\frac{e}{2}$，
又a≥e，所以a無實數解．
③當0＜lna＜1即1＜a＜e時，
因為f（x）在[0，lna]上單調遞減，在[lna，1]上單調遞增，
所以$f{（x）_{min}}=f（lna）={e^{lna}}-alna=a（1-lna）$，
又因為1＜a＜e，
所以a（1-lna）＜a，顯然不符合題意．
綜上，實數a的取值范圍為$[{\frac{e-1}{2}，1}]$．

點評 本題考查利用導數研究函數的極值，考查運算求解能力，考查轉化思想，考查分類討論的思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．