Question

19．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦點為F₁，F₂，離心率為$\frac{\sqrt{3}}{3}$，過F₂的直線l交C于A，B兩點，若△AF₁B的周長為4$\sqrt{3}$，則C的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$，此時橢圓C的一條弦被（1，1）平分，那么這條弦所在的直線方程為2x+3y-5=0．

Answer 1

分析 （1）已知得：$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，4a=4$\sqrt{3}$，a²=b²+c²，解得a，b，
（2）設以點A（2，1）為中點的弦與橢圓交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用點差法能求出結果．

解答 解：由已知得：$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，4a=4$\sqrt{3}$，a²=b²+c²
解得a=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{2}$，c=1，∴C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
 設以點A（1，1）為中點的弦與橢圓交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，
分別把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入橢圓方程得再相減可得
2（x₁+x₂）（x₁-x₂）+3（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∴4（x₁-x₂）+6（y₁-y₂）=0，k=-$\frac{2}{3}$．
這條弦所在的直線方程為：2x+3y-5=0
故答案為：：$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$，2x+3y-5=0

點評 本題考查了橢圓的方程，即點差法處理中點弦問題，屬于中檔題．