Question

10．設(shè){a_n}是一個公差不為零的等差數(shù)列，其前n項和為S_n，已知S₉=45，且a₁，a₂，a₄ 成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）由S₉=9a₅=45，即a₅=5，根據(jù)等比中項的性質(zhì)可知${a}_{2}^{2}$=a₁•a₄，即（a₅-3d）²=（a₅-4d）（a₅-d），代入即可求得d的值，求得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）由（1）可知，${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，采用“裂項法”即可求得數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

解答 解：（1）由S₉=45，即S₉=9a₅=45，即a₅=5，
由a₁，a₂，a₄ 成等比數(shù)列．即${a}_{2}^{2}$=a₁•a₄，
由等差數(shù)列性質(zhì)可知：（a₅-3d）²=（a₅-4d）（a₅-d），
∴（5-3d）²=（5-4d）（5-d），整理得：d²-d=0，
解得：d=1，
∴a_n=a₅+（n-5）d=5+n-5=n，
∴數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=n；
（2）由（1）可知，${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
數(shù)列{b_n}的前n項和T_n，T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，
=（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
=1-$\frac{1}{n+1}$，
=$\frac{n}{n+1}$，
數(shù)列{b_n}的前n項和T_n=$\frac{n}{n+1}$．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、“裂項求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．