Question

5．已知長(zhǎng)方體AC₁中，棱AB=BC=1，棱BB₁=2，連結(jié)B₁C，過(guò)B點(diǎn)作B₁C的垂線(xiàn)交CC₁于E，交AC于F．
（1）求證：A₁C⊥面EBD；
（2）求四棱錐A-A₁B₁CD的體積．

Answer 1

分析 （1）由已知結(jié)合線(xiàn)面垂直的判斷證明線(xiàn)面垂直，得到線(xiàn)線(xiàn)垂直，再由線(xiàn)面垂直的判斷得答案；
（2）求出長(zhǎng)方體的體積，得到三棱柱A₁AD-B₁BC的體積，再由等積法可知四棱錐A-A₁B₁CD的體積為三棱柱A₁AD-B₁BC的體積的三分之二得答案．

解答 （1）證明：如圖，
∵AC₁為長(zhǎng)方體，∴AA₁⊥底面ABCD，則AA₁⊥BD，
∵ABCD為正方形，連接AC，BD，則AC⊥BD，
又AA₁∩AC=A，∴BD⊥平面AA₁C，則A₁C⊥BD，
A₁B₁⊥平面BCC₁B₁，∴A₁B₁⊥BE，
已知B₁C⊥BE，又A₁B₁∩B₁C=B₁，
∴BE⊥平面A₁B₁C，則BE⊥A₁C，又BE∩BD=B，
∴A₁C⊥面EBD；
（2）解：∵AB=BC=1，BB₁=2，
∴${V}_{A{C}_{1}}=1×1×2=2$，
則${V}_{{A}_{1}AD-{B}_{1}BC}=\frac{1}{2}{V}_{A{C}_{1}}=\frac{1}{2}×2=1$，
∴${V}_{A-{A}_{1}{B}_{1}CD}=\frac{2}{3}{V}_{{A}_{1}AD-{B}_{1}BC}=\frac{2}{3}×1=\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線(xiàn)面垂直的判斷，考查了多面體體積的求法，是中檔題．