【題目】已知定點，圓，點為圓上動點，線段的垂直平分線交于點，記的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）過點與作平行直線和，分別交曲線于點、和點、，求四邊形面積的最大值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由中垂線的性質(zhì)得，可得出，符合橢圓的定義，可知曲線是以、為焦點的橢圓，由此可得出曲線的方程；

（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，將直線的方程與曲線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用弦長公式計算出，同理得出，并計算出兩平行直線、的距離，可得出四邊形的面積關(guān)于的表達(dá)式，然后利用雙勾函數(shù)的單調(diào)性可求出四邊形面積的最大值.

（1）由中垂線的性質(zhì)得，，

所以，動點的軌跡是以、為焦點，長軸長為的橢圓，

設(shè)曲線的方程為，則，，

因此，曲線的方程為:；

（2）由題意，可設(shè)的方程為，

聯(lián)立方程得，

設(shè)、，則由根與系數(shù)關(guān)系有，

所以，

同理，與的距離為，

所以，四邊形的面積為，

令，則，得，

由雙勾函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在上為增函數(shù)，

所以，函數(shù)在上為減函數(shù)，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時，四邊形的面積取最大值為.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為，以極點為原點，極軸為軸的非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)， ）.

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A.他們健身后，體重在區(qū)間[90kg，100kg）內(nèi)的人數(shù)不變

B.他們健身后，體重在區(qū)間[100kg，110kg）內(nèi)的人數(shù)減少了4人

C.他們健身后，這20位健身者體重的中位數(shù)位于[90kg，100kg）

D.他們健身后，原來體重在[110kg，120kg]內(nèi)的肥胖者體重都至少減輕了10kg

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【題目】設(shè)，若函數(shù)有4個不同的零點，且，則的取值范圍是（ ）

A.B.C.D.

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【題目】已知函數(shù)，.

（1）恒成立的實數(shù)的最大值；

（2）設(shè)，，且滿足，求證：.

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【題目】已知兩定點，，點P滿足.

（1）求點P的軌跡C的方程；

（2）若，直線l與軌跡C交于A，B兩點，，的斜率之和為2，問直線l是否恒過定點，若過定點，求出定點的坐標(biāo)；若不過定點，請說明理由.

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【題目】已知函數(shù)，.

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和函數(shù)的最值；

（2）已知關(guān)于的不等式對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

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【題目】已知橢圓（）的離心率為，短軸長為.

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）若直線與橢圓交于不同的兩點，且線段的垂直平分線過定點，求實數(shù)的取值范圍．

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【題目】過點作一直線與雙曲線相交于、兩點，若為中點，則( )

A. B. C. D.

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