Question

已知方程x⁵+x+1=0和x+

5	x

+1=0的實(shí)根分別為α和β，則α+β=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：解：令f（x）=x⁵+x+1，故f′（x）=5x⁴+1＞0，推出函數(shù)f（x）=x⁵+x+1在R上遞增，進(jìn)一步推出方程x⁵+x+1=0只有一個(gè)根，
由條件α⁵+α+1=0、β+

5	β

+1=0，推出α=

5	β

，α+β=

5	β

+β=-1．

解答： 解：令f（x）=x⁵+x+1，
∴f′（x）=5x⁴+1＞0，∴函數(shù)f（x）=x⁵+x+1在R上遞增，∴函數(shù)f（x）=x⁵+x+1在R上只有一個(gè)零點(diǎn)，
∴方程x⁵+x+1=0只有一個(gè)根，
∵方程x⁵+x+1=0和x+

5	x

+1=0的實(shí)根分別為α和β，
∴α⁵+α+1=0、β+

5	β

+1=0，
進(jìn)一步有β+

5	β

=-1，
而β+

5	β

+1=0?(

5	β

)5+

5	β

+1=0，
故α⁵+α+1=0、(

5	β

)5+

5	β

+1=0，
而方程x⁵+x+1=0只有一個(gè)根，∴α=

5	β

∴α+β=

5	β

+β=-1
故答案為：-1

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根之間的關(guān)系，推導(dǎo)兩個(gè)方程之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．