Question

【題目】已知．

（Ⅰ）當時，求的極值；

（Ⅱ）若有2個不同零點，求的取值范圍；

（Ⅲ）對，求證： ．

Answer 1

【答案】(1) ，無極大值(2) (3)見解析

【解析】試題分析：（Ⅰ）求導，利用導函數(shù)的符號確定函數(shù)的單調(diào)性，進而確定函數(shù)的極值；（Ⅱ）求導，討論的取值，研究導函數(shù)的符號變換，得到函數(shù)單調(diào)性和極值，再通過零點的個數(shù)確定極值的符號；（Ⅲ）作差構(gòu)造函數(shù)，求導，利用導數(shù)求其最值即可證明.

試題解析：（Ⅰ）當時

， ， 為減函數(shù)

， ， 為增函數(shù)

∴，無極大值；

（Ⅱ）

當時， ，只有個零點

當時，

， ， 為減函數(shù)

， ， 為增函數(shù)

而

∴當， ，使

當時，∴ ∴

∴

取，∴

∴函數(shù)有個零點

當時，

令得，

①，即時

當變化時 ， 變化情況是

∴

∴函數(shù)至多有一個零點，不符合題意

②時， ， 在單調(diào)遞增

∴至多有一個零點，不合題意

③當時，即以時

當變化時， 的變化情況是

∴， 時

∴函數(shù)至多有個零點

綜上： 的取值范圍是

（Ⅲ）令

令行禁止

∴為增函數(shù)

取， ，

∴存在唯一使，即

， ，即，∴為減函數(shù)

， ，即，∴為增函數(shù)

∴

∴對有

即