Question

20．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，滿足c=$\sqrt{3}$asinC-ccosA．
（1）求角A的大��；
（2）已知等差數(shù)列{a_n}的公差不為零，若a₁cosA=1，且a₂，a₄，a₈成等比數(shù)列，求{$\frac{4}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理化簡(jiǎn)已知等式，整理后得到sin（A-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，利用特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)即可求出A的度數(shù)；
（2）先求出a₁，再根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列求出公差，得到通項(xiàng)公式，再根據(jù)裂項(xiàng)求和即可求出答案．

解答 解：（1）由c=$\sqrt{3}$asinC-ccosA得：sinC=$\sqrt{3}$sinAsinC-sinCcosA，
∵sinC≠0，
∴1=$\sqrt{3}$sinA-cosA=2sin（A-$\frac{π}{6}$），即sin（A-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
又0＜A＜π，
∴A=$\frac{π}{3}$；
（2）∵a₁cosA=1，
∴$\frac{1}{2}$a₁=1，
∴a₁=2，
設(shè)公差為d，（d≠0），
∵a₂，a₄，a₈成等比數(shù)列，
∴（2+3d）²=（2+d）（2+7d），
解得d=2，
∴a_n=2+2（n-1）=2n，
∴$\frac{4}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{4}{2n（2n+2）}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴S_n=$\frac{4}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{4}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\frac{4}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)以及裂項(xiàng)求和，屬于中檔題．