Question

16．B．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=5，且${a_{n+1}}+2{a_n}=5×{3^n}$．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令${b_n}=n（{1-\frac{a_n}{3^n}}）$，記T_n=|b₁|+|b₂|+…+|b_n|，求T_n．

Answer 1

分析 （1）由題意可得a_n+1-3ⁿ⁺¹=-2（a_n-3ⁿ），則數(shù)列{a_n-3ⁿ}是以a₁-3=2為首項(xiàng)，-2為公比的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可得到所求通項(xiàng)；
（2）求出${b_n}=n（{1-\frac{a_n}{3^n}}）$=n•（-$\frac{2}{3}$）ⁿ，|b_n|=n•（$\frac{2}{3}$）ⁿ，由數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，化簡(jiǎn)整理即可得到所求和．

解答 解：（1）數(shù)列{a_n}滿足a₁=5，且${a_{n+1}}+2{a_n}=5×{3^n}$．
可得a_n+1-3ⁿ⁺¹=-2（a_n-3ⁿ），
則數(shù)列{a_n-3ⁿ}是以a₁-3=2為首項(xiàng)，-2為公比的等比數(shù)列，
則a_n-3ⁿ=2×（-2）^n-1，
即a_n=3ⁿ+2×（-2）^n-1，n∈N*；
（2）由（1）可得${b_n}=n（{1-\frac{a_n}{3^n}}）$=n•（-$\frac{2}{3}$）ⁿ，
則T_n=|b₁|+|b₂|+…+|b_n|=1•$\frac{2}{3}$+2•（$\frac{2}{3}$）²+…+（n-1）•（$\frac{2}{3}$）^n-1+n•（$\frac{2}{3}$）ⁿ，
即有$\frac{2}{3}$T_n=1•（$\frac{2}{3}$）²+2•（$\frac{2}{3}$）³+…+（n-1）•（$\frac{2}{3}$）ⁿ+n•（$\frac{2}{3}$）ⁿ⁺¹，
兩式相減可得，$\frac{1}{3}$T_n=$\frac{2}{3}$+（$\frac{2}{3}$）²+…+（$\frac{2}{3}$）^n-1+（$\frac{2}{3}$）ⁿ-n•（$\frac{2}{3}$）ⁿ⁺¹
=$\frac{\frac{2}{3}（1-\frac{{2}^{n}}{{3}^{n}}）}{1-\frac{2}{3}}$-n•（$\frac{2}{3}$）ⁿ⁺¹，
化簡(jiǎn)可得T_n=6-2（n+3）•（$\frac{2}{3}$）ⁿ．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，注意運(yùn)用構(gòu)造等比數(shù)列，考查數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．