Question

8．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，AC與BD交于點(diǎn)O，PC⊥底面ABCD，E為PB上一點(diǎn)，G為PO中點(diǎn)．
（1）若PD∥平面ACE，求證：E為PB的中點(diǎn)；
（2）若AB=$\sqrt{2}$PC，求證：CG⊥平面PBD．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出PD與OE共面，由PD∥平面ACE，得PD∥OE，由此能證明E為PB的中點(diǎn)．
（2）以C為原點(diǎn)，CD為x軸，CB為y軸，CP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明CG⊥平面PBD．

解答 證明：（1）∵在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，AC與BD交于點(diǎn)O，
PC⊥底面ABCD，E為PB上一點(diǎn)，
G為PO中點(diǎn)．
∴OE?平面PBD，∴PD與OE共面，
∵PD∥平面ACE，OE?平面ACE，∴PD∥OE，
∵底面ABCD是正方形，
AC與BD交于點(diǎn)O，
∴O是BD中點(diǎn)，∴E為PB的中點(diǎn)．
解：（2）以C為原點(diǎn)，CD為x軸，
CB為y軸，CP為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)PC=$\sqrt{2}$，則AB=$\sqrt{2}$PC=2，
則O（1，1，0），P（0，0，$\sqrt{2}$），G（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}$），
C（0，0，0），B（0，2，0），D（2，0，0），
$\overrightarrow{CG}$=（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}$），$\overrightarrow{PB}$=（0，2，-$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{PD}$=（2，0，-$\sqrt{2}$），
$\overrightarrow{CG}•\overrightarrow{PB}$=0+1-1=0，$\overrightarrow{CG}•\overrightarrow{PD}$=1+0-1=0，
∴$\overrightarrow{CG}•\overrightarrow{PB}$=0，$\overrightarrow{CG}•\overrightarrow{PD}=0$，
∴CG⊥PB，CG⊥PD，
∵PB∩PD=P，∴CG⊥平面PBD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)為線段中點(diǎn)的證明，考查線面垂直的證明，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查化歸與思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．