Question

已知橢圓的離心率為,橢圓短軸的一個端點(diǎn)與兩個焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為，過橢圓的右焦點(diǎn)的動直線與橢圓相交于、兩點(diǎn).

（1）求橢圓的方程;

（2）若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,求直線的方程;

（3）若線段的垂直平分線與軸相交于點(diǎn).設(shè)弦的中點(diǎn)為,試求的取值范圍.

 

Answer 1

（1）;（2）；（3）

【解析】

試題分析：（1）設(shè)橢圓的方程，用待定系數(shù)法求出的值；（2）解決直線和橢圓的綜合問題時注意：第一步：根據(jù)題意設(shè)直線方程，有的題設(shè)條件已知點(diǎn)，而斜率未知；有的題設(shè)條件已知斜率，點(diǎn)不定，可由點(diǎn)斜式設(shè)直線方程.第二步：聯(lián)立方程：把所設(shè)直線方程與橢圓的方程聯(lián)立，消去一個元，得到一個一元二次方程.第三步：求解判別式：計(jì)算一元二次方程根.第四步：寫出根與系數(shù)的關(guān)系.第五步：根據(jù)題設(shè)條件求解問題中結(jié)論;（3）涉及弦長的問題時，應(yīng)熟練地利用根與系數(shù)的關(guān)系，設(shè)而不求計(jì)算弦長；直線與圓錐曲線相交所得中的弦問題，就解析幾何的內(nèi)容之一，一般有以下三種類型：（1）求中點(diǎn)弦所在的直線方程；（2）求弦中點(diǎn)的軌跡方程問題；（4）弦長為定值時，弦中點(diǎn)的坐標(biāo)問題，其解法有代點(diǎn)相減法、設(shè)而不求法、參數(shù)法、待定系數(shù)法及中心對稱變換法.

試題解析：解:（1）依題意，有，

即， ，又

解得

則橢圓方程為

（2）由（1）知，所以設(shè)過橢圓的右焦點(diǎn)的動直線的方程為

將其代入中得，，

，設(shè),,

則 ，∴，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015021306040226105500/SYS201502130604080424423433_DA/SYS201502130604080424423433_DA.025.png">中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以，解得

所以，直線的方程

（3）由（2）知,

所以的中點(diǎn)為

所以

直線的方程為, 由,得,

則, 所以

所以

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015021306040226105500/SYS201502130604080424423433_DA/SYS201502130604080424423433_DA.045.png">,所以.所以.

所以的取值范圍是

考點(diǎn)：1、求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2、弦中點(diǎn)所在的直線方程；3、弦中點(diǎn)的問題.