Question

等差數(shù)列{a_n}中，a₁＞0，a₂₀₀₃+a₂₀₀₄＞0，a₂₀₀₃•a₂₀₀₄＜0，S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，若S_n＞0，則n的最大值為（　�。�

• A、2003
• B、400
• C、4006
• D、4007

Answer 1

考點：等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由題意得：前2003項是正數(shù)，且從第2004項開始為負數(shù)，由等差數(shù)列的前n項和公式表示出S₄₀₀₆、S₄₀₀₇，利用等差數(shù)列的性質(zhì)和a₂₀₀₃+a₂₀₀₄＞0與a₂₀₀₄＜0，判斷出S₄₀₀₆為正、S₄₀₀₇為負，求出最大自然數(shù)n的值．

解答： 解：由a₂₀₀₃+a₂₀₀₄＞0，a₂₀₀₃•a₂₀₀₄＜0，知a₂₀₀₃和a₂₀₀₄兩項中有一正數(shù)一負數(shù)，
又a₁＞0，則公差為負數(shù)，否則各項總為正數(shù)，所以a₂₀₀₃＞a₂₀₀₄，
即a₂₀₀₃＞0，a₂₀₀₄＜0，從第1項到第2003項是正數(shù)，且從第2004項開始為負數(shù)，
則S₄₀₀₆=

4006(a1+a4006)

2

=

4006(a2003+a2004)

2

＞0，
S₄₀₀₇=

4007(a1+a4007)

2

=

4007(a2004+a2004)

2

＜0，
所以使S_n＞0的n的最大值為4006，
故選：C．

點評：本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)、前n項和公式的靈活應用，以及等差數(shù)列的單調(diào)性，可利用一般結論：等差數(shù)列中，a₁＞0，a_k+a_k+1＞0，且a_ka_k+1＜0，則使前n項和Sn＞0的最大自然數(shù)n是2k．