Question

已知函數(shù)f（x）=log₄（4^x+1）+kx（k∈R））是偶函數(shù)
（1）求k的值；
（2）設(shè)g（x）=log₄（a•2^x-

4

3

a），若函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且只有一個公共點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)的圖象

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)偶函數(shù)的定義建立方程關(guān)系即可求k的值；
（2）根據(jù)函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且只有一個公共點，即可得到結(jié)論．

解答： 解（1）∵函數(shù)f（x）=log₄（4^x+1）+kx（k∈R））是偶函數(shù)
∴f（-x）=log₄（4^-x+1）-kx）=log₄（

1+4x

4x

）-kx=log₄（4^x+1）+kx（k∈R）恒成立
∴-（k+1）=k，則k=-

1

2

．
（2）g（x）=log₄（a•2^x-

4

3

a），
函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且只有一個公共點，即
方程f（x）=g（x）只有一個解
由已知得log₄（4^x+1）-

1

2

x=log₄（a•2^x-

4

3

a），

∴l(xiāng)og₄（

4x+1

2x

）=log₄（a•2^x-

4

3

a），
方程等價于

a•2x- 4 3 a＞0 4x+1 2x =a•2x- 4a 3

，
設(shè)2^x=t，t＞0，則（a-1）t²-

4

3

at-1=0有一解
若a-1＞0，設(shè)h（t）=（a-1）t²-

4

3

at-1，
∵h(yuǎn)（0）=-1＜0，∴恰好有一正解
∴a＞1滿足題意
若a-1=0，即a=1時，不滿足題意
若a-1＜0，即a＜1時，由△=(-

4

3

a)2+4(a-1)=0，得a=-3或a=

3

4

，
當(dāng)a=-3時，t=

1

2

滿足題意
當(dāng)a=

3

4

時，t=-2（舍去）
綜上所述實數(shù)a的取值范圍是{a|a＞1或a=-3}．

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，以及對數(shù)的基本運(yùn)算，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，綜合性較強(qiáng)．