Question

已知點P是△ABC所在平面外一點，過點P作PO⊥平面ABC，垂足為O，連結(jié)PA、PB、PC，若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，則O是△ABC的

 

心．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：點P為△ABC所在平面外一點，PO⊥平面ABC，垂足為O，分析可證得△POA≌△POB≌△POC，從而證得BE⊥AC、AD⊥BC，符合這一性質(zhì)的點O是△ABC垂心．

解答： 證明：連結(jié)AO并延長，交BC與D連結(jié)BO并延長，交AC與E；
因PA⊥PB，PA⊥PC，故PA⊥面PBC，故PA⊥BC；
因PO⊥面ABC，故PO⊥BC，故BC⊥面PAO，
故AO⊥BC即AD⊥BC；
同理：BE⊥AC；
故O是△ABC的垂心．
故答案為：垂．

點評：本題是立體幾何中一道證明題，考查了線面垂直的定義與三角形的全等．