Question

9．已知a，b∈R，且e^x≥a（x-1）+b對x∈R恒成立，則ab的最大值是（　�。�

• A． $\frac{1}{2}{e^3}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}{e^3}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}{e^3}$
• D． e³

Answer 1

分析 先求出函數(shù)的導數(shù)，再分別討論a=0，a＜0，a＞0的情況，從而得出ab的最大值．

解答 解：令f（x）=e^x-a（x-1）-b，則f′（x）=e^x-a，
若a=0，則f（x）=e^x-b≥-b≥0，得b≤0，此時ab=0；
若a＜0，則f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)增，x→-∞，此時f（x）→-∞，不可能恒有f（x）≥0．
若a＞0，由f′（x）=e^x-a=0，得極小值點x=lna，
由f（lna）=a-alna+a-b≥0，得b≤a（2-lna），
ab≤a²（2-lna）．
令g（a）=a²（2-lna）．
則g′（a）=2a（2-lna）-a=a（3-2lna）=0，得極大值點a=${e}^{\frac{3}{2}}$．
而g（${e}^{\frac{3}{2}}$）=$\frac{1}{2}{e}^{3}$．
∴ab的最大值是$\frac{1}{2}{e}^{3}$．
故選：A．

點評 本題考查函數(shù)恒成立問題，考查了函數(shù)的單調(diào)性，訓練了導數(shù)在求最值中的應用，滲透了分類討論思想，是中檔題．