精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情

【題目】已知橢圓E: (a>b>0)的上頂點為P(0,1),過E的焦點且垂直長軸的弦長為1.若有一菱形ABCD的頂點A、C在橢圓E上,該菱形對角線BD所在直線的斜率為﹣1.
(1)求橢圓E的方程;
(2)當直線BD過點(1,0)時,求直線AC的方程;
(3)當∠ABC= 時,求菱形ABCD面積的最大值.

【答案】
(1)解:依題意,b=1,

,得|y|= ,

所以 ,a=2,

橢圓E的方程為


(2)解:直線BD:y=﹣1×(x﹣1)=﹣x+1,

設AC:y=x+b,

由方程組

時,

A(x1,y1),C(x2,y2)的中點坐標為 =﹣ , ,

ABCD是菱形,所以AC的中點在BD上,所以

解得 ,滿足△=5﹣b2>0,所以AC的方程為y=x﹣


(3)解:因為四邊形ABCD為菱形,且 ,所以AB=AC=BC,所以菱形ABCD的面積 ,

由(2)可得AC2=(x2﹣x12+(y2﹣y22=2,

AC2=(x2﹣x12+(y2﹣y12=2(x2﹣x12=2(x2+x12﹣8x1x2=2× = ,

因為 ,所以當且僅當b=0時,菱形ABCD的面積取得最大值,最大值為


【解析】(1)依題意,b=1,解 ,得|y|= ,所以 ,由此能求出橢圓E的方程.(2)直線BD:y=﹣1×(x﹣1)=﹣x+1,設AC:y=x+b,由方程組 ,再由根的判別式、中點坐標公式和菱形的性質能推導出AC的方程.(3)因為四邊形ABCD為菱形,且 ,所以AB=AC=BC,所以菱形ABCD的面積 ,由AC2=(x2﹣x12+(y2﹣y12=2(x2﹣x12=2(x2+x12﹣8x1x2= ,能推導出當且僅當b=0時,菱形ABCD的面積取得最大值.
【考點精析】根據題目的已知條件,利用一般式方程和橢圓的標準方程的相關知識可以得到問題的答案,需要掌握直線的一般式方程:關于的二元一次方程(A,B不同時為0);橢圓標準方程焦點在x軸:,焦點在y軸:

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】已知曲線C1的參數方程為 (t為參數),以坐標原點O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為ρ=2 sin(θ+ ). (Ⅰ)求曲線C1與曲線C2的普通方程;
(Ⅱ)若點P的坐標為(﹣1,3),且曲線C1與曲線C2交于B,D兩點,求|PB||PD|.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】設函數f(x)= ﹣ln(1+|x|),則使得f(2x)>f(x﹣1)成立的x取值范圍是

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】已知a,b,c分別是△ABC內角A,B,C的對邊,sin2B=2sinAsinC. (Ⅰ)若a=b,求cosB;
(Ⅱ)設B=90°,且a= ,求△ABC的面積.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】如圖,三棱錐P﹣ABC中,PC⊥平面ABC,PC=AC=2,AB=BC,D是PB上一點,且CD⊥平面PAB.
(1)求證:AB⊥平面PCB;
(2)求二面角C﹣PA﹣B的大小的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】已知數列{an}滿足a1=2,且anan+1+an+1﹣2an=0(n∈N+).
(1)求a2、a3、a4的值;
(2)猜想數列{an}的通項公式,并用數學歸納法加以證明.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】已知f(n)=1+ + +…+ (n∈N*),計算得f(2)= ,f(4)>2,f(8)> ,f(16)>3,f(32)> ,由此推算:當n≥2時,有(
A.f(2n)> (n∈N*
B.f(2n)> (n∈N*
C.f(2n)> (n∈N*
D.f(2n)> (n∈N*

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】已知圓C:(x﹣1)2+(y﹣2)2=25,直線l:(2m+1)x+(m+1)y﹣7m﹣4=0.
(1)求證:直線l恒過定點;
(2)求直線l被圓C截得的弦長最長與最短的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】設集合A={x|x2+4x=0,x∈R},B={x|x2+2(a+1)x+a2﹣1=0,x∈R},
(1)若A∩B=A∪B,求實數a的值;
(2)若A∩B=B,求實數a的取值范圍.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案