【題目】已知數(shù)列{an}滿足a1=2，且anan+1+an+1﹣2an=0（n∈N+）．
（1）求a2、a3、a4的值；
（2）猜想數(shù)列{an}的通項公式，并用數(shù)學歸納法加以證明．

【答案】
（1）解：由題得 ，又a1=2，則 ， ，


（2）解：猜想 ．

證明：①當n=1時， ，故命題成立．

②假設當n=k時命題成立，即

則當n=k+1時， ，

故命題也成立．

綜上，對一切n∈N+都有 成立


【解析】（1）由題意可得 ，又a1=2，可求得a2 ， 再由a2的值求 a3 ， 再由a3 的值求出a4的值．（2）猜想 ，檢驗n=1時等式成立，假設n=k時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立．
【考點精析】本題主要考查了數(shù)列的通項公式和數(shù)學歸納法的定義的相關知識點，需要掌握如果數(shù)列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式；數(shù)學歸納法是證明關于正整數(shù)n的命題的一種方法才能正確解答此題．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=ln（1+x）﹣x+ x2（k≥0）． （Ⅰ）當k=2時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）求f（x）的單調區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】解下列不等式：
（1）9x+3x＜6（3x﹣1）；
（2）log （2x+1） （x2﹣2）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某地區(qū)2007年至2013年農(nóng)村居民家庭人均純收入y（單位：千元）的數(shù)據(jù)如表：

年份

2007

2008

2009

2010

2011

2012

2013

年份代號t

1

2

3

4

5

6

7

人均純收入y

2.9

3.3

3.6

4.4

4.8

5.2

5.9

（Ⅰ）求y關于t的線性回歸方程；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回歸方程，分析2007年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況，并預測該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入．
附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為： = ， = ﹣ ．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓E： （a＞b＞0）的上頂點為P（0，1），過E的焦點且垂直長軸的弦長為1．若有一菱形ABCD的頂點A、C在橢圓E上，該菱形對角線BD所在直線的斜率為﹣1．
（1）求橢圓E的方程；
（2）當直線BD過點（1，0）時，求直線AC的方程；
（3）當∠ABC= 時，求菱形ABCD面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=ex+ax﹣1（e為自然對數(shù)的底數(shù)）． （Ⅰ）當a=1時，求過點（1，f（1））處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積；
（Ⅱ）若f（x）≥x2在（0，1）上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知f（x）=log （x2﹣2x）的單調遞增區(qū)間是（ ）
A.（1，+∞）
B.（2，+∞）
C.（﹣∞，0）
D.（﹣∞，1）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點E是棱AA1的中點，則異面直線DE與BC所成的角的余弦值是 ．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】橢圓中心是原點O，它的短軸長為 ，右焦點F（c，0）（c＞0），它的長軸長為2a（a＞c＞0），直線l： 與x軸相交于點A，|OF|=2|FA|，過點A的直線與橢圓相交于P、Q兩點．
（1）求橢圓的方程和離心率；
（2）若 ，求直線PQ的方程；
（3）設 （λ＞1），過點P且平行于直線l的直線與橢圓相交于另一點M，證明： ．

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