【題目】已知橢圓的離心率為,且四個頂點構(gòu)成的四邊形的面積是.

1)求橢圓的方程;

2)已知直線經(jīng)過點,且不垂直于軸,直線與橢圓交于兩點,的中點,直線與橢圓交于兩點(是坐標(biāo)原點),若四邊形的面積為,求直線的方程.

【答案】1;(2.

【解析】

1)離心率提供的關(guān)系,四個頂點構(gòu)成的四邊形對角線互相垂直,列出等量關(guān)系求的值;

2)直線經(jīng)過點,由直線點斜式方程設(shè)出直線的方程,并設(shè)出直線與橢圓交點、的坐標(biāo),聯(lián)立方程,由韋達(dá)定理可表示出的中點的坐標(biāo);由中點的坐標(biāo)可得直線的方程,聯(lián)立直線的方程與橢圓的方程,利用韋達(dá)定理可求,再利用點到直線距離公式可求點、到直線的距離,由四邊形的面積為可列出等量關(guān)系,最后可求出直線的方程.

解:(1)由題意可得

解得,,

故橢圓的方程為.

2)設(shè)直線的方程為,,.

聯(lián)立,整理得

,

從而,故,

直線的斜率為,所以直線的方程為,

.

聯(lián)立,整理得,

.

設(shè)點到直線的距離為,則點到直線的距離也為,

從而.

∵點,在直線的兩側(cè),

,

,則,

,

則四邊形的面積,

∵四邊形的面積為,

,解得,

故直線的方程為.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】如圖,港口A在港口O的正東100海里處,在北偏東方向有條直線航道OD,航道和正東方向之間有一片以B為圓心,半徑為海里的圓形暗礁群(在這片海域行船有觸礁危險),其中OB海里,tanAOB,cosAOD,現(xiàn)一艘科考船以海里/小時的速度從O出發(fā)沿OD方向行駛,經(jīng)過2個小時后,一艘快艇以50海里/小時的速度準(zhǔn)備從港口A出發(fā),并沿直線方向行駛與科考船恰好相遇.

1)若快艇立即出發(fā),判斷快艇是否有觸礁的危險,并說明理由;

2)在無觸礁危險的情況下,若快艇再等x小時出發(fā),求x的最小值.

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A.2750,200B.2750,110C.1120110D.1120,200

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【題目】已知曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)),曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,以軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

1)求曲線與曲線的公共點的極坐標(biāo);

2)若點的極坐標(biāo)為,設(shè)曲線軸相交于點,則在曲線上是否存在點,使得,若存在,求出點的直角坐標(biāo),若不存在,請說明理由.

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【題目】為助力湖北新冠疫情后的經(jīng)濟(jì)復(fù)蘇,某電商平臺為某工廠的產(chǎn)品開設(shè)直播帶貨專場.為了對該產(chǎn)品進(jìn)行合理定價,用不同的單價在平臺試銷,得到如下數(shù)據(jù):

單價(元/件)

8

8.2

8.4

8.6

8.8

9

銷量(萬件)

90

84

83

80

75

68

1)根據(jù)以上數(shù)據(jù),求關(guān)于的線性回歸方程;

2)若該產(chǎn)品成本是4/件,假設(shè)該產(chǎn)品全部賣出,預(yù)測把單價定為多少時,工廠獲得最大利潤?

(參考公式:回歸方程,其中

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【題目】已知橢圓的離心率為,且以橢圓上的點和長軸兩端點為頂點的三角形的面積的最大值為.

1)求橢圓的方程;

2)經(jīng)過定點的直線交橢圓于不同的兩點、,點關(guān)于軸的對稱點為,試證明:直線軸的交點為一個定點,且為原點).

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【題目】《周髀算經(jīng)》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作,其記載的日月歷法曰:陰陽之?dāng)?shù),日月之法,十九歲為一章,四章為一部,部七十六歲,二十部為一遂,遂千百五二十歲,.生數(shù)皆終,萬物復(fù)蘇,天以更元作紀(jì)歷,某老年公寓住有20位老人,他們的年齡(都為正整數(shù))之和恰好為一遂,其中年長者已是奔百之齡(年齡介于90100),其余19人的年齡依次相差一歲,則年長者的年齡為( )

A.94B.95C.96D.98

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【題目】某科研團(tuán)隊對例新冠肺炎確診患者的臨床特征進(jìn)行了回顧性分析.其中名吸煙患者中,重癥人數(shù)為人,重癥比例約為名非吸煙患者中,重癥人數(shù)為人,重癥比例為.

1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表;

2)根據(jù)(1)中列聯(lián)表數(shù)據(jù),能否在犯錯誤的概率不超過的前提下認(rèn)為新冠肺炎重癥與吸煙有關(guān)?

3)已知每例重癥患者平均治療費用約為萬元,每例輕癥患者平均治療費用約為萬元.根據(jù)(1)中列聯(lián)表數(shù)據(jù),分別求吸煙患者和非吸煙患者的平均治療費用.(結(jié)果保留兩位小數(shù))

附:

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