Question

8．已知F是拋物線x²=4y的焦點(diǎn)，直線y=kx-1與該拋物線交于第一象限內(nèi)的兩點(diǎn)A，B，若|AF|=4|FB|，則k的值是（　�。�

• A． $\frac{5}{4}$
• B． $\frac{3}{4}\sqrt{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{17}}}{4}$
• D． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)拋物線方程求出準(zhǔn)線方程與焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用拋物線的定義表示出|AF|與|FB|，再利用直線與拋物線方程組成方程組，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，求出k的值即可．

解答 解：∵拋物線方程為x²=4y，
∴p=2，準(zhǔn)線方程為y=-1，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（0，1）；
設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則|AF|=y₁+$\frac{p}{2}$=y₁+1，|FB|=y₂+$\frac{p}{2}$=y₂+1；
∵|AF|=4|FB|，
∴y₁+1=4（y₂+1），即y₁=4y₂+3；
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-1}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，
消去x，得y²+（2-4k²）y+1=0，
由根與系數(shù)的關(guān)系得，y₁+y₂=4k²-2，
即（4y₂+3）+y₂=4k²-2，
解得y₂=$\frac{4}{5}$k²-1；
代入直線方程y=kx-1中，得x₂=$\frac{4}{5}$k，
再把x₂、y₂代入拋物線方程x²=4y中，
得$\frac{16}{25}$k²=$\frac{16}{5}$k²-4，
解得k=$\frac{5}{4}$，或k=-$\frac{5}{4}$（不符合題意，應(yīng)舍去），
∴k=$\frac{5}{4}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了直線與拋物線的綜合應(yīng)用問(wèn)題，考查了方程思想的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．