拋物線y=x2+4x上一點P處的切線的傾斜角為45°,切線與x,y軸的交點分別是A,B,則△AOB的面積為   
【答案】分析:由題意和導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出點P的坐標,再求出切線方程,然后求出A、B兩點的坐標,進而可求長度及直線AB的方程,再求原點到AB得距離即為三角形邊AB上的高,再代入三角形的面積公式求解.
解答:解:設(shè)點P的坐標為(x,y),
由題意,y'=2x+4且過P點的切線的斜率k=tan45°=1,
∴由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得,1=2x+4,x=-;代入y=x2+4x解得,y=-
∴P的坐標為(-,-),
∴過P點的切線的方程為y+=x+,即x-y-=0,
令y=0,x=,令x=0,y=-;∴A(,0),B(0,-
∴|AB|==,直線AB的方程為x-y-=0;
∴點O(0,0)到直線AB的方程得距d==,
∴△AOB的面積S=×|AB|×d=.故答案為:
點評:本題考查了根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義如何求切點和切線方程,還有直線方程及三角形的面積求法,是一道好題.
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