Question

11．已知函數$f（x）=\frac{lnx}{ax}$（a＞0）．
（Ⅰ）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若$f（x）＜\frac{1}{{\sqrt{x}}}$恒成立，求a的取值范圍；
（Ⅲ）證明：總存在x₀，使得當x∈（x₀，+∞），恒有f（x）＜1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據導數的幾何意義即可求出切線方程，
（Ⅱ）分離參數，構造函數，利用導數求出函數的最值即可，
（Ⅲ）先求導，討論函數f（x）的單調性，根據函數的單調性和最值得關系，即可證明

解答 解：（Ⅰ）當a=1時，f（x）=$\frac{lnx}{x}$，x＞0，
∴f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
∴k=f′（1）=1，f（1）=0，
∴曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程y=x-1，
（Ⅱ）∵f（x）＜$\frac{1}{\sqrt{x}}$恒成立，
即$\frac{lnx}{ax}$＜$\frac{1}{\sqrt{x}}$，
∴a＞$\frac{lnx}{\sqrt{x}}$，x＞0，
設g（x）=$\frac{lnx}{\sqrt{x}}$，
∴g′（x）=$\frac{2-lnx}{2x\sqrt{x}}$，
當g′（x）＞0時，解得0＜x＜e²，函數g（x）單調遞增，
當g′（x）＜0時，解得x＞e²，函數g（x）單調遞減，
∴g（x）_max=g（e²）=$\frac{2}{e}$，
∴a＞$\frac{2}{e}$，
故a的取值范圍為（$\frac{2}{e}$，+∞），
（Ⅲ）證明：∵f（x）=$\frac{lnx}{ax}$，
∴f′（x）=$\frac{1-lnx}{a{x}^{2}}$，
令f′（x）=0，解得x=e，
當f′（x）＞0時，解得0＜x＜e，函數g（x）單調遞增，
當f′（x）＜0時，解得x＞e，函數g（x）單調遞減，
∴f（x）_max=f（e）=$\frac{1}{ae}$，
令$\frac{1}{ae}$≤1，即a≥$\frac{1}{e}$時，
∴當a≥$\frac{1}{e}$時，總存在x₀，使得當x∈（x₀，+∞），恒有f（x）＜1，

點評 本題考查了導數的幾何意義和導數函數的單調性和最值得關系，以及函數恒成立的問題，參數的取值范圍，考查了分析問題解決問題的能力，屬于難題