Question

19．如圖，在矩形ABCD中，|AB|=4，|AD|=2，O為AB中點(diǎn)，P，Q分別是AD和CD的中點(diǎn)，且直線AQ與BP的交點(diǎn)在橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}$+y²=1（a＞0）上．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)R為橢圓E的右頂點(diǎn)，T為橢圓E的上頂點(diǎn)，M為橢圓E第一象限部分上一點(diǎn)，求梯形ORMT面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題可知，$\frac{y_1}{2}=\frac{{{x_1}+2}}{4}，\frac{y}{x+2}=\frac{2}{{{x_1}+2}}，\frac{y}{x-2}=\frac{y_1}{-4}$，整理即可求得橢圓E的方程；
（Ⅱ）由${y_0}=\frac{1}{2}\sqrt{4-x_0^2}$，則四邊形面積$S=\frac{1}{2}×2×{y_0}+\frac{1}{2}×1×{x_0}=\frac{{\sqrt{4-x_0^2}}}{2}+\frac{x_0}{2}≤\sqrt{\frac{4-x_0^2+x_0^2}{2}}=\sqrt{2}$，即可求得梯形ORMT面積的最大值．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)AQ于BP交點(diǎn)C為（x，y），P（-2，y₁），Q（x₁，2），
由題可知，$\frac{y_1}{2}=\frac{{{x_1}+2}}{4}，\frac{y}{x+2}=\frac{2}{{{x_1}+2}}，\frac{y}{x-2}=\frac{y_1}{-4}$，（4分）
從而有$\frac{-4y}{x-2}=\frac{x+2}{y}$，整理得$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，即為橢圓方程，
橢圓E的方程$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；（6分）
（Ⅱ）R（2，0），設(shè)M（x₀，y₀），由${y_0}=\frac{1}{2}\sqrt{4-x_0^2}$，（8分）
從而所求四邊形面積$S=\frac{1}{2}×2×{y_0}+\frac{1}{2}×1×{x_0}=\frac{{\sqrt{4-x_0^2}}}{2}+\frac{x_0}{2}≤\sqrt{\frac{4-x_0^2+x_0^2}{2}}=\sqrt{2}$，（10分）
當(dāng)且僅當(dāng)${x_0}=\sqrt{2}，{y_0}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$取得最大值，
梯形ORMT面積的最大值$\sqrt{2}$．（12分）

點(diǎn)評 本小題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及面積最值問題，考查基本不等式的性質(zhì)，考查學(xué)生的邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．