Question

8．若正實數(shù)x，y滿足x+$\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}$=5，則xy的取值范圍為[$\frac{1}{4}$，4]．

Answer 1

分析 利用基本不等式的性質(zhì)以及二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出．

解答 解：∵正實數(shù)x，y滿足x+$\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}$=5，
∴5=x+y+$\frac{x+y}{xy}$≥2$\sqrt{xy}$+$\frac{2\sqrt{xy}}{xy}$，
∴2${（\sqrt{xy}）}^{2}$-5$\sqrt{xy}$+2≤0，
解得：$\frac{1}{2}$≤$\sqrt{xy}$≤2，
故xy的范圍是：$[{\frac{1}{4}，4}]$，
故答案為：[$\frac{1}{4}$，4]．

點評 本題考查了基本不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．