Question

2．已知兩點A（-1，5），B（3，7），圓C以線段AB為直徑．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）若直線l：x+y-4=0與圓C相交于M，N兩點，求弦MN的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出圓心坐標、半徑，即可求圓C的方程；
（Ⅱ）若直線l：x+y-4=0與圓C相交于M，N兩點，求出圓心到直線的距離，利用勾股定理求弦MN的長．

解答 解：（Ⅰ）由題意，得圓心C的坐標為（1，6），-----（2分）
直徑$2r=\sqrt{16+4}=2\sqrt{5}$．半徑$r=\sqrt{5}$-----------（4分）
所以，圓C的方程為（x-1）²+（y-6）²=5．---------（5分）
（Ⅱ）設圓心C到直線l：x+y-4=0的距離為d，
則有$d=\frac{{|{1+6-4}|}}{{\sqrt{{1^2}+{1^2}}}}=\frac{3}{{\sqrt{2}}}$．------------------（8分）
由垂徑定理和勾股定理，有${（{\frac{{|{MN}|}}{2}}）^2}={r^2}-{d^2}=5-\frac{9}{2}=\frac{1}{2}$．---（10分）
所以$\frac{{|{MN}|}}{2}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，即$|{MN}|=\sqrt{2}$．--------（12分）

點評 本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關系，考查勾股定理的運用，屬于中檔題．