Question

15．某城市100戶居民的月平均用電量（單位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]分組的頻率分布直方圖如圖．
（1）求直方圖中x的值；
（2）求月平均用電量的平均數(shù)；
（3）在月平均用電量為[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]的四組用戶中，用分層抽樣的方法抽取11戶居民，
①求月平均用電量在[220，240）的用戶中應抽取多少戶？
②如果月平均用電量在[220，240）的用戶中有2個困難戶，從月平均用電量在[220，240）的用戶中任取2戶，則至少有一個困難戶的概率是多少？

Answer 1

分析 （1）由直方圖的性質(zhì)可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得；
（2）由直方圖中眾數(shù)為最高矩形上端的中點可得，可得中位數(shù)在[220，240）內(nèi)，設中位數(shù)為a，解方程（0.002+0.0095++0.011）×20+0.0125×（a-220）=0.5可得；
（3）①可得各段的用戶分別為25，15，10，5，可得抽取比例，可得要抽取的戶數(shù)；
②一一列舉所有的基本事件，再找到滿足條件的基本事件，根據(jù)概率公式計算即可．

解答 解：（1）由直方圖的性質(zhì)可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，
解方程可得x=0.0075，
∴直方圖中x的值為0.0075．…（2分）
（2）月平均用電量的平均數(shù)為$\overline x=（170×0.002+190×0.0095+210×0.011+230×0.0125+250×0.0075+270×0.005+290×0.0025）×20$=225.6…（5分）
（3）月平均用電量為[220，240）的用戶有0.0125×20×100=25戶，
月平均用電量為[240，260）的用戶有0.0075×20×100=15戶，
月平均用電量為[260，280）的用戶有0.005×20×100=10戶，
月平均用電量為[280，300]的用戶有0.0025×20×100=5戶，
抽取比例=$\frac{11}{25+15+10+5}=\frac{1}{5}$，
所以月平均用電量在[220，240）的用戶中應抽取$25×\frac{1}{5}=5$戶．…（7分）
記這5戶中2個困難戶為D，E，另外3戶為A，B，C，
從這5戶中一次任意取出2戶的所有可能結果為：
AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，共10種情況，…（10分）
記A表示從取出的2戶中至少有一個困難戶，
則A中基本事件為：AD，AE，BD，BE，CD，CE，DE，共7種，
故$P（A）=\frac{7}{10}$…（12分）

點評 本題考查頻率分布直方圖，涉及眾數(shù)和中位數(shù)以及分層抽樣以及古典概率的問題，屬基礎題．