Question

5．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，c=2$\sqrt{3}$，asinA-csinC=（a-b）sinB．
（1）若c+bcosA=a（4cosA+cosB），求△ABC的面積；
（2）求AB邊上的中線CD的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理將角化邊，根據(jù)余弦定理求出C=$\frac{π}{3}$．再使用正弦定理將邊化角得出A，B的關(guān)系，從而求出A，B得出三角形的三邊長，計算出面積；
（2）利用余弦定理和基本不等式得出ab的取值范圍，根據(jù)$\overrightarrow{CD}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}）$兩邊平方得出CD關(guān)于ab的表達式，得出CD的范圍．

解答 解：（1）∵asinA-csinC=（a-b）sinB，
∴a²-c²=ab-b²，即a²+b²-c²=ab，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，∴C=$\frac{π}{3}$．
∵c+bcosA=a（4cosA+cosB），
∴sinC+sinBcosA=4sinAcosA+sinAcosB，
∵sinC=sin（A+B），
∴sinAcosB+cosAsinB+sinBcosA=4sinAcosA+sinAcosB，
∴sinB=2sinA，
∵B=$\frac{2π}{3}-A$，∴sin（$\frac{2π}{3}-A$）=2sinA，即$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA=$\frac{3}{2}$sinA，
∴tanA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即A=$\frac{π}{6}$．∴B=$\frac{π}{2}$．
∴a=$\frac{c}{\sqrt{3}}$=2，b=2a=4．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}ac$=2$\sqrt{3}$．
（2）由（1）知C=$\frac{π}{3}$．
由余弦定理得c²=a²+b²-2abcosC，∴a²+b²=12+ab≥2ab．
∴0＜ab≤12．
∵$\overrightarrow{CD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}$），
∴CD²=$\frac{1}{4}$（a²+b²+ab）=$\frac{1}{4}$（12+2ab），
∴3＜CD²≤9．
∴$\sqrt{3}＜$CD≤3．

點評 本題考查了正弦定理，余弦定理，三角函數(shù)的恒等變換，基本不等式的應用，屬于中檔題．