Question

3．已知等差數(shù)列{a_n}中，a₁=-60，a₁₇=-12．
（1）該數(shù)列第幾項(xiàng)起為正？
（2）前多少項(xiàng)和最��？求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n的最小值
（3）設(shè)T_n=|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|

Answer 1

分析 （1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程可得d=3，可得該數(shù)列的通項(xiàng)公式，由a_n＞0，即可得到所求值；
（2）由數(shù)列的通項(xiàng)公式可得數(shù)列的各項(xiàng)的符號(hào)，結(jié)合單調(diào)性，即可得到所求最小值；
（3）求得數(shù)列的前n項(xiàng)和，討論當(dāng)n≤21，n∈N*時(shí)，T_n=-S_n；當(dāng)n≥22，n∈N*時(shí)，T_n=S_n-S₂₁-S₂₁，化簡(jiǎn)整理計(jì)算即可得到所求和．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
a₁=-60，a₁₇=-12．
可得-60+16d=-12，
解得d=3，
則a_n=-60+3（n-1）=3n-63，n∈N*，
由a_n＞0，可得n＞21，
由于公差d＞0，等差數(shù)列{a_n}為遞增數(shù)列，
則該數(shù)列第22項(xiàng)起為正；
（2）由a_n=3n-63可得n≤21可得a_n≤0，n＞21時(shí)，a_n＞0．
則前20或21項(xiàng)和最小．
且最小值是$\frac{1}{2}$×20×（-60-3）=-630；
（3）由S_n=$\frac{1}{2}$n（-60+3n-63）=$\frac{1}{2}$n（3n-123），
當(dāng)n≤21，n∈N*時(shí)，T_n=|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=-S_n=$\frac{1}{2}$n（123-3n）；
當(dāng)n≥22，n∈N*時(shí)，T_n=S_n-S₂₁-S₂₁=$\frac{1}{2}$n（3n-123）-2×（-630）
=$\frac{3{n}^{2}-123n+2520}{2}$．
即有T_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}n（123-3n），1≤n≤21，n∈N*}\\{\frac{1}{2}（3{n}^{2}-123n+2520），n≥22，n∈N*}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的運(yùn)用，以及數(shù)列的求和公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的單調(diào)性的運(yùn)用：求最值，同時(shí)考查分類討論的思想方法，化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．