Question

（2010•武昌區(qū)模擬）如圖，已知橢圓

x2

4

+

y2

3

=1的右焦點(diǎn)為F，過F的直線（非x軸）交橢圓于M、N兩點(diǎn)，右準(zhǔn)線l交x軸于點(diǎn)K，左頂點(diǎn)為A．
（1）求證：KF平分∠MKN；
（2）直線AM、AN分別交準(zhǔn)線l于點(diǎn)P、Q，設(shè)直線MN的傾斜角為θ，試用θ表示線段PQ的長度|PQ|，并求|PQ|的最小值．

Answer 1

分析：（1）法一：幾何法，分別過M和N點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，并設(shè)出對應(yīng)的垂足，根據(jù)直角梯形列出比例關(guān)系，再由橢圓的第二定義，將到焦點(diǎn)的距離之比轉(zhuǎn)化到對應(yīng)準(zhǔn)線的距離之比，判斷出∠KMM₁=∠KNN₁，再由內(nèi)錯(cuò)角相等得到∠MKF=∠NKF，即得到證明；
法二：代數(shù)法，根據(jù)題意設(shè)直線MN的方程為x=my+1，再設(shè)出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，聯(lián)立直線和橢圓的方程，消去x得到關(guān)于y的一個(gè)二次方程，根據(jù)韋達(dá)定理表示出y₁+y₂和y₁y₂，再代入斜率公式，進(jìn)行證明；
（2）由題意求出點(diǎn)A和右準(zhǔn)線的方程，并設(shè)出四點(diǎn)M、N、P和Q的坐標(biāo)，根據(jù)A，M，P三點(diǎn)共線得到對應(yīng)的斜率相等，求出點(diǎn)P和Q的坐標(biāo)，聯(lián)立直線和橢圓的方程，消去x得到關(guān)于y的一個(gè)二次方程，根據(jù)韋達(dá)定理表示出y₁+y₂和y₁y₂，再代入兩點(diǎn)之間的距離公式，化簡后用m表示|PQ|，再把m用cotθ表示，利用三角恒等變換公式和θ∈（0，π），求出最小值．

解答：解：（1）法一：作MM₁⊥l于M₁，
NN₁⊥l于N₁，則

|MF|

|NF|

=

|M1K|

|N1K|

，
由橢圓的第二定義，有

|MF|

|NF|

=

|M1M|

|N1N|

，
∴

|N1K|

|NN1|

=

|M1K|

|MM1|

，
∴∠KMM₁=∠KNN₁，即∠MKF=∠NKF，
∴KF平分∠MKN．
法二：設(shè)直線MN的方程為x=my+1，
設(shè)M、N的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
由

x=my+1 x2 4 + y2 3 =1

得，（3m²+4）y²+6my-9=0，
∴y1+y2=-

6m

3m2+4

，y1y2=-

9

3m2+4

設(shè)KM和KN的斜率分別為k₁，k₂，顯然只需證k₁+k₂=0即可．
∵K（4，0），∴k1+k2=

y1

x1-4

+

y2

x2-4

=

x2y1+x1y2-4(y1+y2)

(x1-4)(x2-4)

而x₂y₁+x₁y₂-4（y₁+y₂）=（my₂+1）y₁+（my₁+1）y₂-4（y₁+y₂）
=2my1y2-3(y1+y2)=2m•

-9

3m2+4

-3•

-6m

3m2+4

=0，
即k₁+k₂=0得證，故KF平分∠MKN．
（2）設(shè)M、N的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
由題意知，A（-2，0），右準(zhǔn)線的方程：x=

a2

c

=4，
故令P（4，y_p），Q（4，y_q），
∵A，M，P三點(diǎn)共線，∴k_AP=k_AM，即

yp-0

4+2

=

y1-0

x1+2

，得y_p=

6y1

2+x1

，即P點(diǎn)為(4，

6y1

2+x1

)
由A，N，Q三點(diǎn)共線，同理可求出Q點(diǎn)為(4，

6y2

2+x2

)，
設(shè)直線MN的方程為x=my+1．由

x=my+1 x2 4 + y2 3 =1

得，（3m²+4）y²+6my-9=0，
∴y1+y2=-

6m

3m2+4

，y1y2=-

9

3m2+4

，

則|PQ|=

6y1

2+x1

-

6y2

2+x2

=

6[2(y1-y2)+x2y1-x1y2]

4+2(x1+x2)+x1x2

=

18(y1-y2)

m2y1y2+3m(y1+y2)+9

=

18 ( 6m 3m2+4 )2+ 36 3m2+4

m2• -9 3m2+4 +3m• -6m 3m2+4 +9

=6

1+m2

又∵直線MN的傾斜角為θ，則m=cotθ，θ∈（0，π），
∴|PQ|=6

1+cot2θ

=

6

sinθ

，
∴θ=

π

2

時(shí)，|PQ|_min=6．

點(diǎn)評：本題主要考查了直線與橢圓的綜合問題，兩點(diǎn)間的距離公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，考查了學(xué)生解決問題的能力和運(yùn)算能力．