Question

14．已知△ABC的三邊長分別為5，6，7，點O是△ABC三個內(nèi)角的角平分線的交點．若BC=7，則點集{P|$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OB}$+y$\overrightarrow{OC}$，0≤x≤1，0≤y≤1}所表示的區(qū)域的面積為（　�。�

• A． $\frac{2\sqrt{6}}{3}$
• B． $\frac{14\sqrt{6}}{3}$
• C． 4$\sqrt{3}$
• D． 6$\sqrt{6}$

Answer 1

分析 由題意可知，P表示的區(qū)域是以O(shè)B，OC為鄰邊的平行四邊形，只要求出三角形ABC的內(nèi)切圓半徑即可求其面積．

解答 解：由題意可知，P表示的區(qū)域是以O(shè)B，OC為鄰邊的平行四邊形，如圖
cosA=$\frac{{5}^{2}+{6}^{2}-{7}^{2}}{2×5×6}=\frac{1}{5}$，所以sinA=$\frac{2\sqrt{6}}{5}$，所以三角形ABC的面積為$\frac{1}{2}AB×AC×sinA$=6$\sqrt{6}$，
設(shè)三角形的內(nèi)切圓半徑為r，則$\frac{1}{2}（5+6+7）r$=6$\sqrt{6}$，
解得r=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
所以平行四邊形OBPC的面積為BC×r=7×$\frac{2\sqrt{6}}{3}$=$\frac{14\sqrt{6}}{3}$；
故選B

點評 本題考查了余弦定理、三角形的面積公式以及動點集合區(qū)域面積的求法；關(guān)鍵是明確區(qū)域形狀，結(jié)合余弦定理求三角形的內(nèi)角，進一步求三角形的面積．