Question

14．已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+b的圖象上一點(diǎn)P（1，0），且在P點(diǎn)處的切線與直線3x+y=0平行．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，t]（0＜t＜3）上的最大值和最小值；
（3）在（1）的結(jié)論下，關(guān)于x的方程f（x）=c在區(qū)間[1，3]上恰有兩個(gè)相異的實(shí)根，求實(shí)數(shù)c
的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出a，根據(jù)函數(shù)過(guò)（1，0）點(diǎn)，求出b，即可求出函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求導(dǎo)數(shù)，分類(lèi)討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，t]（0＜t＜3）上的最大值和最小值；
（3）構(gòu)造函數(shù)，研究構(gòu)造函數(shù)的性質(zhì)尤其是單調(diào)性，列出該方程有兩個(gè)相異的實(shí)根的不等式組，求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）因?yàn)閒′（x）=3x²+2ax，曲線在P（1，0）處的切線斜率為f′（1）=3+2a，
即3+2a=-3，
所以a=-3；
又因?yàn)楹瘮?shù)過(guò)（1，0）點(diǎn)，
即-2+b=0，
所以b=2，
所以f（x）=x³-3x²+2
（2）由f（x）=x³-3x²+2，f′（x）=3x²-6x，
令f′（x）=0，可得x=0或x=2，
①當(dāng)0＜t≤2時(shí)，在區(qū)間（0，t）上f′（x）＜0，
可得f（x）在[0，t]上是減函數(shù)，
所以f（x）_max=f（0）=2，
f（x）_min=f（t）=t³-3t²+2；
②當(dāng)2＜t＜3時(shí)，當(dāng)x變化時(shí)，f′（x）、f（x）的變化情況見(jiàn)下表：

x	0	（0，2）	2	（2，t）	t
f′（x）	0	-	0	+	+
f（x）	2	遞減	-2	遞增	t3-3t2+2

f（x）_min=f（2）=-2，
f（x）_max為f（0）與f（t）中較大的一個(gè)，
f（t）-f（0）=t³-3t²=t²（t-3）＜0，
所以f（x）_max=f（0）=2，
綜上，函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，t]（0＜t＜3）上的最大值是2，最小值是-2．
（3）令g（x）=f（x）-c=x³-3x²+2-c，g′（x）=3x²-6x=3x（x-2）．
在x∈上，g′（x）＞0．要使g（x）=0在上恰有兩個(gè)相異的實(shí)根，
則$\left\{\begin{array}{l}g（1）≥0\\ g（2）＜0\\ g（3）≥0\end{array}\right.$，解得-2＜c≤0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的工具作用，考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的知識(shí)．考查學(xué)生對(duì)方程、函數(shù)、不等式的綜合問(wèn)題的轉(zhuǎn)化與化歸思想，將方程的根的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象交點(diǎn)問(wèn)題，屬于綜合題型．