Question

4．如圖，正三角形ABE與菱形ABCD所在的平面互相垂直，AB=2，∠ABC=60°，M是AB的中點，N是CE的中點．
（I）求證：EM⊥AD；
（II）求證：MN∥平面ADE；
（III）求點A到平面BCE的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導出EM⊥AB，從而EM⊥平面ABCD，由此能證明EM⊥AD．
（Ⅱ）取DE的中點F，連接AF，NF，推導出四邊形AMNF是平行四邊形，從而MN∥AF，由此能證明MN∥平面ADE．
（III）設點A到平面BCE的距離為d，由V_A-BCE=V_E-ABC，能求出點A到平面BCE的距離．

解答 證明：（Ⅰ）∵EA=EB，M是AB的中點，∴EM⊥AB，（1分）
∵平面ABE⊥平面ABCD，平面ABE∩平面ABCD=AB，EM?平面ABE，
∴EM⊥平面ABCD，（4分）
∵AD?平面ABCD，∴EM⊥AD．（5分）
（Ⅱ）取DE的中點F，連接AF，NF，
∵N是CE的中點．，∴NF$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$CD，
∵M是AB的中點，∴AM$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}CD$，
∴NF$\underset{∥}{=}$AM，∴四邊形AMNF是平行四邊形，（7分）
∴MN∥AF，（8分）
∵MN?平面ADE，AF?平面ADE，
∴MN∥平面ADE．（10分）
解：（III）設點A到平面BCE的距離為d，
由（I）知ME⊥平面ABC，BC=BE=2，MC=ME=$\sqrt{3}$，
則CE=$\sqrt{6}$，BN=$\sqrt{B{E}^{2}-E{N}^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，（12分）
∴${S}_{△BCE}=\frac{1}{2}CE•BN=\frac{\sqrt{15}}{2}$，
${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}BA×BC×sin60°$=$\sqrt{3}$，
∵V_A-BCE=V_E-ABC，（13分）即$\frac{1}{3}{S}_{△BCE}×d=\frac{1}{3}{S}_{△ABC}×ME$，
解得d=$\frac{2\sqrt{15}}{5}$，故點A到平面BCE的距離為$\frac{2\sqrt{15}}{5}$．（14分）

點評 本題考查線線垂直、線面平行的證明，考查點到平面的距離的求法，涉及到空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力、數據處理能力，考查數形結合思想，是中檔題．