【題目】已知橢圓： （）的右焦點(diǎn)在直線： 上，且橢圓上任意兩個(gè)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)與橢圓上任意一點(diǎn)的連線的斜率之積為.

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)， ，是否存在直線： （其中）使得， 到的距離， 滿足恒成立？若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1) ；(2) 時(shí)符合題意.

【解析】試題分析：

(1)由題意結(jié)合點(diǎn)差法計(jì)算可得， ，則橢圓的方程為.

(2)分類討論直線的斜率存在和不存在兩種情況可得：存在符合題意.

試題解析：

（1）設(shè)橢圓焦距為（），右焦點(diǎn) 為，

∵直線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為∴.

設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)和關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)， ，

則有， ∴

又∵即∴

又，∴， .

∴橢圓的方程為.

（2）存在符合題意，理由如下：

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，設(shè)， 聯(lián)立，得

恒成立

，

不妨設(shè)，

∴

∴，整理得，即滿足條件

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，顯然滿足條件

綜上， 時(shí)符合題意.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某學(xué)校為倡導(dǎo)全體學(xué)生為特困學(xué)生捐款，舉行“一元錢，一片心，誠(chéng)信用水”活動(dòng)，學(xué)生在購(gòu)水處每領(lǐng)取一瓶礦泉水，便自覺(jué)向捐款箱中至少投入一元錢。現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了連續(xù)5天的售出和收益情況，如下表：

售出水量x（單位：箱）

7

6

6

5

6

收益y（單位：元）

165

142

148

125

150

(Ⅰ) 若x與y成線性相關(guān)，則某天售出8箱水時(shí)，預(yù)計(jì)收益為多少元？

(Ⅱ) 期中考試以后，學(xué)校決定將誠(chéng)信用水的收益，以獎(jiǎng)學(xué)金的形式獎(jiǎng)勵(lì)給品學(xué)兼優(yōu)的特困生，規(guī)定：特困生考入年級(jí)前200名，獲一等獎(jiǎng)學(xué)金500元；考入年級(jí)201—500 名，獲二等獎(jiǎng)學(xué)金300元；考入年級(jí)501名以后的特困生將不獲得獎(jiǎng)學(xué)金。甲、乙兩名學(xué)生獲一等獎(jiǎng)學(xué)金的概率均為，獲二等獎(jiǎng)學(xué)金的概率均為，不獲得獎(jiǎng)學(xué)金的概率均為.

⑴在學(xué)生甲獲得獎(jiǎng)學(xué)金條件下，求他獲得一等獎(jiǎng)學(xué)金的概率；

⑵已知甲、乙兩名學(xué)生獲得哪個(gè)等第的獎(jiǎng)學(xué)金是相互獨(dú)立的，求甲、乙兩名學(xué)生所獲得獎(jiǎng)學(xué)金總金額X 的分布列及數(shù)學(xué)期望。

附： ， 。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】f（x）=（ax2+x﹣1）ex
（1）當(dāng)a＜0時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若a=﹣1，f（x）的圖象與g（x）= x3+ x2+m的圖象有3個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在三棱錐D﹣ABC中，已知△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB=BC=a，E為BC點(diǎn)，F(xiàn)棱AC上，且AF=3FC．

（1）求三棱錐D﹣ABC的體積；
（2）求證：AC⊥平面DEF；
（3）若M為DB中點(diǎn)，N在棱AC上，且CN= CA，求證：MN∥平面DEF．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，已知多面體的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形， 底面， ，且．

（Ⅰ）記線段的中點(diǎn)為，在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作一條直線與平面平行，要求保留作圖痕跡，但不要求證明．

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)， ，（ ）.

（1）討論函數(shù)在上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（2）若有兩個(gè)不同的零點(diǎn)， ，求證： .

（參考數(shù)據(jù)： 取， 取， 取）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】制定投資計(jì)劃時(shí)，不僅要考慮可能獲得的盈利，而且要考慮可能出現(xiàn)的虧損．某投資人打算投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目．根據(jù)預(yù)測(cè)，甲、乙項(xiàng)目可能的最大盈利率分別為100%和50%，可能的最大虧損分別為30%和10%．投資人計(jì)劃投資金額不超過(guò)10萬(wàn)元，要求確�？赡艿馁Y金虧損不超過(guò)1.8萬(wàn)元．問(wèn)投資人對(duì)甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目各投資多少萬(wàn)元，才能使可能的盈利最大？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+）（ω＞0，0≤≤π）為偶函數(shù)，其圖象上相鄰的兩個(gè)最高點(diǎn)之間的距離為2π． （Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若 ，求 的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐中，平面平面,// ,,

,且，.

（1）求證：平面；

（2）求和平面所成角的正弦值；

（3）在線段上是否存在一點(diǎn)使得平面平面，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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