Question

14．若雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線與曲線y=$\sqrt{x-1}$相切，則　該雙曲線的離心率為（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{6}}{2}$
• C． $\sqrt{5}$
• D． 2

Answer 1

分析 求出雙曲線的漸近線方程，利用雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線與曲線相切，建立方程組，即可求得幾何量之間的關(guān)系，從而可求雙曲線的離心率．

解答 解：雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
∵雙曲線 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線y=$\frac{a}$x與曲線y=$\sqrt{x-1}$相切，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{a}x}\\{{y}^{2}=x-1}\end{array}\right.$有唯一解，∴y²+$\frac{a}$y+1=0有兩相等的實根，
∴△=0，∴（$\frac{a}$）²-4=0，則$\frac{a}$=2，b=$\frac{1}{2}$a，
∴c²=a²+b²=$\frac{5}{4}$a²，∴c=$\frac{\sqrt{5}}{2}$a
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故選：A．

點評 本題考查直線與曲線相切，考查雙曲線的幾何性質(zhì)，正確運用雙曲線的一條漸近線與曲線相切是關(guān)鍵利用判別式法是解決本題的關(guān)鍵．