Question

12．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a，b，c成等比數(shù)列，sinB=$\frac{5}{13}$，
（Ⅰ）求$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanC}$的值；
（Ⅱ）若$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=12，求a+c的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運用等比數(shù)列的中項的性質，結合正弦定理，可得sin²B=sinAsinC，再由三角函數(shù)的恒等變換公式化簡可得；
（Ⅱ）運用向量的數(shù)量積的定義和余弦定理，同角的平方關系，計算即可得到所求值．

解答 解：（Ⅰ）由a，b，c成等比數(shù)列，可得b²=ac，
由正弦定理可得，sin²B=sinAsinC，
則$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanC}$=$\frac{cosC}{sinC}$+$\frac{cosA}{sinA}$=$\frac{sinAcosC+cosAsinC}{sinAsinC}$
=$\frac{sin（A+C）}{sinAsinC}$=$\frac{sinB}{sinAsinC}$=$\frac{sinB}{si{n}^{2}B}$=$\frac{1}{sinB}$=$\frac{13}{5}$；
（Ⅱ）$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=12，即有cacosB=12，可得cosB＞0，
由sinB=$\frac{5}{13}$，可得cosB=$\sqrt{1-\frac{25}{169}}$=$\frac{12}{13}$，
即有ac=13，b²=13，
由余弦定理可得，cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{（a+c）^{2}-3ac}{2ac}$=$\frac{12}{13}$，
解得a+c=3$\sqrt{7}$．

點評 本題考查三角函數(shù)的化簡和求值，注意運用等比數(shù)列的性質和正弦定理，三角函數(shù)的恒等變換公式，考查向量的數(shù)量積的定義，以及余弦定理的運用，屬于中檔題．