Question

4．已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n滿足2S_n=3a_n-1，其中n∈N^*．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設${a_n}{b_n}=\frac{3^n}{{{n^2}+n}}$，數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，若${T_n}＜{c^2}-2c$對n∈N^*恒成立，求實數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件，通過a_n=s_n-s_n-1，判斷數(shù)列是等比數(shù)列，然后求解通項公式．
（2）利用數(shù)列裂項求和，然后利用不等式推出結(jié)果即可．

解答 解：（1）∵${S_n}=\frac{3}{2}{a_n}-\frac{1}{2}\;（n∈{N^*}）$，①
當$n=1，{S_1}=\frac{3}{2}{a_1}-\frac{1}{2}$，∴a₁=1，
當n≥2，∵${S_{n-1}}=\frac{3}{2}{a_{n-1}}-\frac{1}{2}$，②
①-②：${a_n}=\frac{3}{2}{a_n}-\frac{3}{2}{a_{n-1}}$，即：a_n=3a_n-1（n≥2）…（4分）
又∵a₁=1，∴$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}=3$對n∈N^*都成立，所以{a_n}是等比數(shù)列，
∴${a_n}={3^{n-1}}\;（n∈{N^*}）$…（6分）
（2）∵${a_n}{b_n}=\frac{3^n}{{{n^2}+n}}$，∴${b_n}=\frac{3}{{{n^2}+n}}$，∴${T_n}=3（1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n-1}）$，
∴${T_n}=3（1-\frac{1}{n+1}）=3-\frac{3}{n+1}$，…（8分）
∵$\frac{3}{n+1}＞0$，∴T_n＜3對n∈N^*都 成立…（10分）
∴3≤c²-2c，∴c≥3或c≤-1，
∴實數(shù)c的取值范圍為（-∞，-1]∪[3，+∞），…（12分）

點評 本題考查數(shù)列的通項公式的求法，數(shù)列求和以及數(shù)列與不等式的關系，考查分析問題解決問題的能力．