Question

2．已知函數(shù)f（x）=2^x-2^-x，若不等式f（x²-ax+a）+f（3）＞0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-2，6）．

Answer 1

分析 由函數(shù)解析式可得函數(shù)f（x）為定義域上的增函數(shù)且為奇函數(shù)，把不等式f（x²-ax+a）+f（3）＞0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立轉(zhuǎn)化為x²-ax+a+3＞0恒成立，由判別式小于0求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：f（x）=2^x-2^-x=${2}^{x}-\frac{1}{{2}^{x}}$，
∵y=2^x與y=$-\frac{1}{{2}^{x}}$均為實(shí)數(shù)集上的增函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）為實(shí)數(shù)集上的增函數(shù)，
又f（-x）=2^-x-2^x=-f（x），∴f（x）為實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)，
由不等式f（x²-ax+a）+f（3）＞0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，
得f（x²-ax+a）＞-f（3）=f（-3）對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，
則x²-ax+a＞-3恒成立，即x²-ax+a+3＞0恒成立，
則△=（-a）²-4（a+3）=a²-4a-12＜0，解得-2＜a＜6．
故答案為：（-2，6）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)恒成立問題，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．