Question

2．已知函數f（x）=2^x-2^-x，若不等式f（x²-ax+a）+f（3）＞0對任意實數x恒成立，則實數a的取值范圍是（-2，6）．

Answer 1

分析 由函數解析式可得函數f（x）為定義域上的增函數且為奇函數，把不等式f（x²-ax+a）+f（3）＞0對任意實數x恒成立轉化為x²-ax+a+3＞0恒成立，由判別式小于0求得實數a的取值范圍．

解答 解：f（x）=2^x-2^-x=${2}^{x}-\frac{1}{{2}^{x}}$，
∵y=2^x與y=$-\frac{1}{{2}^{x}}$均為實數集上的增函數，
∴函數f（x）為實數集上的增函數，
又f（-x）=2^-x-2^x=-f（x），∴f（x）為實數集上的奇函數，
由不等式f（x²-ax+a）+f（3）＞0對任意實數x恒成立，
得f（x²-ax+a）＞-f（3）=f（-3）對任意實數x恒成立，
則x²-ax+a＞-3恒成立，即x²-ax+a+3＞0恒成立，
則△=（-a）²-4（a+3）=a²-4a-12＜0，解得-2＜a＜6．
故答案為：（-2，6）．

點評 本題考查函數恒成立問題，考查了數學轉化思想方法，是中檔題．