Question

已知動圓過定點(diǎn)A（2，0），且在y軸上截得的弦長|MN|=4．
（Ⅰ）求動圓圓心C的軌跡方程；
（Ⅱ）若過點(diǎn)（1，0）的直線l交圓心C的軌跡于點(diǎn)A，B，且|AB|=5，求直線AB的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專題：綜合題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）設(shè)圓心C（x，y），點(diǎn)C到y(tǒng)軸的距離為d，則d=|x|，利用勾股定理求動圓圓心C的軌跡方程；
（Ⅱ）分類討論，設(shè)直線AB的方程為y=k（x-1）（k≠0）與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，結(jié)合|AB|=5，求直線AB的方程．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)圓心C（x，y），點(diǎn)C到y(tǒng)軸的距離為d，則d=|x|
由|CA|2=(

|MN|

2

)2+d2即（x-2）²+y²=4+|x|²
化簡得y²=4x，即為所求軌跡方程．
（Ⅱ）焦點(diǎn)F（1，0），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
若AB⊥x軸，則|AB|=2p=4＜5，所以直線AB的斜率k存在．
設(shè)直線AB的方程為y=k（x-1）（k≠0）
由

y=k(x-1) y2=4x

消去y得：k²x²-（2k²+4）x+k²=0x1+x2=

2k2+4

k2

⇒|AB|=x1+x2+p=

2k2+4

k2

+2=5∴k=±2
所以直線AB的方程為y=2（x-1）或y=-2（x-1）．

點(diǎn)評：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，正確運(yùn)用韋達(dá)定理是關(guān)鍵．