Question

20．拋物線y=-x²+2x與x軸圍成的封閉區(qū)域?yàn)镸，向M內(nèi)隨機(jī)投擲一點(diǎn)P（x，y），則P（y＞x）=$\frac{1}{8}$．

Answer 1

分析 根據(jù)積分的知識(shí)可得先求y=-x²+2x與x軸圍成的封閉區(qū)域?yàn)镸的面積，再求出S_陰影，最后代入幾何概率的計(jì)算公式可求．

解答 解：令y=-x²+2x=0，解得x=0或x=2，
∴由拋物線y=-x²+2x與x軸圍成的封閉區(qū)域S_M=${∫}_{0}^{2}$（-x²+2x）dx=（-$\frac{1}{3}$x³+x²）|${\;}_{0}^{2}$=-$\frac{8}{3}$+4=$\frac{4}{3}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+2x}\\{y=x}\end{array}\right.$，解得x=0或x=1，
∴由拋物線y=-x²+2x與y=x圍成的封閉區(qū)域
S_陰影=${∫}_{0}^{1}$（（-x²+2x-x）dx=${∫}_{0}^{1}$（（-x²+x）dx=（-$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²）|${\;}_{0}^{1}$=-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{6}$，
故則P（y＞x）=$\frac{{S}_{陰影}}{{S}_{M}}$=$\frac{\frac{1}{6}}{\frac{4}{3}}$=$\frac{1}{8}$，
故答案為：$\frac{1}{8}$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了利用積分求解曲面的面積，還考查了幾何概率的計(jì)算公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題．