Question

9．設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a_n=$\left\{\begin{array}{l}{n，n為奇數(shù)}\\{{a}_{\frac{n}{2}}，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$，記S_n是數(shù)列{a_n}的前n項和，則S${\;}_{{2}^{2016}-1}$=$\frac{{4}^{2016}-1}{3}$．

Answer 1

分析 由a_n=$\left\{\begin{array}{l}{n，n為奇數(shù)}\\{{a}_{\frac{n}{2}}，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$，可得：n為奇數(shù)時，a_n=n；n為偶數(shù)時a_n=${a}_{\frac{n}{2}}$．可得S${\;}_{{2}^{2016}-1}$=$（{a}_{1}+{a}_{3}+…+{a}_{{2}^{2016}-1}）$+${S}_{{2}^{2015}-1}$=2⁴⁰³⁰+${S}_{{2}^{2015}-1}$，即S${\;}_{{2}^{2016}-1}$-${S}_{{2}^{2015}-1}$=4²⁰¹⁵，利用“累加求和”方法與等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 解：∵a_n=$\left\{\begin{array}{l}{n，n為奇數(shù)}\\{{a}_{\frac{n}{2}}，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$，
∴n為奇數(shù)時，a_n=n；
n為偶數(shù)時a_n=${a}_{\frac{n}{2}}$．
∴S${\;}_{{2}^{2016}-1}$=$（{a}_{1}+{a}_{3}+…+{a}_{{2}^{2016}-1}）$+${S}_{{2}^{2015}-1}$=$\frac{{2}^{2015}×（1+{2}^{2016}-1）}{2}$+${S}_{{2}^{2015}-1}$=2⁴⁰³⁰+${S}_{{2}^{2015}-1}$，
∴S${\;}_{{2}^{2016}-1}$-${S}_{{2}^{2015}-1}$=4²⁰¹⁵，
${S}_{{2}^{2015}-1}$-${S}_{{2}^{2014}-1}$=4²⁰¹⁴，
…，
${S}_{{2}^{3}-1}-{S}_{{2}^{2}-1}$=4²，
${S}_{{2}^{2}-1}$=S₃=a₁+a₂+a₃=1+1+3=5，
∴S${\;}_{{2}^{2016}-1}$-5=$\frac{16（{4}^{2014}-1）}{4-1}$，
∴S${\;}_{{2}^{2016}-1}$=$\frac{{4}^{2016}-1}{3}$．
故答案為：$\frac{{4}^{2016}-1}{3}$．

點評 本題考查了遞推關(guān)系、“累加求和”方法與等比數(shù)列的前n項和公式，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于難題．