Question

19．設(shè)數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n=$\frac{n+1}{n-1}$a_n-1，則通項(xiàng)公式a_n=$\frac{n（n+1）}{2}$．

Answer 1

分析 由已知數(shù)列遞推式利用累積法即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式．

解答 解：由a_n=$\frac{n+1}{n-1}$a_n-1，得
$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{n+1}{n-1}（n≥2）$，
∴$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=\frac{3}{1}$，$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}=\frac{4}{2}$，$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}=\frac{5}{3}$，…，$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}=\frac{n}{n-2}$，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{n+1}{n-1}$（n≥2），
則$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}=\frac{n（n+1）}{2}$（n≥2），
又a₁=1，
∴${a}_{n}=\frac{n（n+1）}{2}$，
n=1時(shí)上式成立，
∴${a}_{n}=\frac{n（n+1）}{2}$，
故答案為：$\frac{n（n+1）}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查了累積法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，是中檔題．